高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示课时作业

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A．(4，－2) B．(4,2)
C．(2,4) D．(-4,8)
【答案】B
【解析】因为eq \(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq \(OA,\s\up14(→))＝(4,2)，故选B。
2.如果用i，j分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则eq \(AB,\s\up14(→))可以表示为( )
A．2i＋3j B．4i＋2j
C．2i－j D．－2i＋j
【答案】C
【解析】记O为坐标原点，则eq \(OA,\s\up14(→))＝2i＋3j，eq \(OB,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝2i－j.故选C。
3.已知eq \(AB,\s\up14(→))＝(－2,4)，则下列说法正确的是( )
A．A点的坐标是(－2,4)
B．B点的坐标是(－2,4)
C．当B是原点时，A点的坐标是(－2,4)
D．当A是原点时，B点的坐标是(－2,4)
【答案】D
【解析】当向量起点与原点重合时，向量坐标与向量终点坐标相同．故选D。
4．若{i，j}为正交基底，设a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，则向量a对应的坐标位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，
x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，
所以向量a对应的坐标位于第四象限．故选D。
（多选题）下列说法正确的是（ ）
相等向量的坐标相同；
平面上一个向量对应平面上唯一的坐标；
一个坐标对应唯一的一个向量；
平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应。
【答案】ABD
【解析】由向量坐标的定义得一个坐标可对应无数个相等的向量，故C错误。所以选ABD.
6.（多选题）已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，平面内的任意向量 SKIPIF 1 < 0 ，下列结论中错误的是（ ）
A.存在唯一的一对实数x，y，使得 SKIPIF 1 < 0 。
B.若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 。
C.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的起点是原点O。
D.若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的终点坐标是 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 。
【答案】BCD
【解析】由平面向量基本定理，可知A中结论正确； SKIPIF 1 < 0 ，但1=1，故B中结论错误；因为向量可以平移，所以向量 SKIPIF 1 < 0 与向量 SKIPIF 1 < 0 的起点是不是原点无关，故C中结论错误；当 SKIPIF 1 < 0 的终点坐标是 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 的起点是原点为前提的，故D中结论错误。故选BCD。
填空题
7.如图，在平面直角坐标系中，分别取与x轴，y轴方向相同的两个单位向量i，j，以{i，j}作为基底，对于平面内的一个向量a，若|a|＝2，θ＝45°，则向量a的坐标为________．
【答案】(eq \r(2)，eq \r(2))
【解析】由题意知
a＝2cs 45°i＋2sin 45°j＝eq \r(2)i＋eq \r(2)j＝(eq \r(2)，eq \r(2))．
8.若向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相等，则 SKIPIF 1 < 0 =_________.
【答案】-1
【解析】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 =0且 SKIPIF 1 < 0 =2，解得 SKIPIF 1 < 0 .
9.如图,在6×6的方格中,已知向量 SKIPIF 1 < 0 的起点和终点均在格点,且满足向量 SKIPIF 1 < 0 ,那么 SKIPIF 1 < 0 _______.
【答案】3
【解析】分别设方向向右和向上的单位向量为 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0 ,
又因为 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
答案为3.
10.已知O是坐标原点，点A在第二象限，|eq \(OA,\s\up14(→))|＝2，∠xOA＝150°，则点A坐标为 ，向量eq \(OA,\s\up14(→))的坐标为________．
【答案】(－eq \r(3)，1) (－eq \r(3)，1)
【解析】设A(x，y)，
∴x＝|eq \(OA,\s\up14(→))|cs 150°＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))＝－eq \r(3)，y＝|eq \(OA,\s\up14(→))|sin 150°＝2×eq \f(1,2)＝1，
所以点A 的坐标为(－eq \r(3)，1)．
∴eq \(OA,\s\up14(→))的坐标为(－eq \r(3)，1)．
三．解答题
11.已知长方形ABCD的长为4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的单位向量，j是y轴上的单位向量，试求eq \(AC,\s\up14(→))和eq \(BD,\s\up14(→))的坐标．
【解析】 由长方形ABCD知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
因为AB＝4，AD＝3，
所以eq \(AC,\s\up14(→))＝4i＋3j，
所以eq \(AC,\s\up14(→))＝(4,3)．
又eq \(BD,\s\up14(→))＝eq \(BA,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＋eq \(AD,\s\up14(→))，
所以eq \(BD,\s\up14(→))＝－4i＋3j，
所以eq \(BD,\s\up14(→))＝(－4,3)．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up14(→))＝a，eq \(AB,\s\up14(→))＝b.四边形OABC为平行四边形．
(1)求向量a，b的坐标；
(2)求向量eq \(BA,\s\up14(→))的坐标；
(3)求点B的坐标．
【解析】 (1)作AM⊥x轴于点M，
则OM＝OA·cs 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin 45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
∴A(2eq \r(2)，2eq \r(2))，故a＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))．
∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，
∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
∴eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).
(2)eq \(BA,\s\up14(→))＝－eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).
(3)eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \(OA,\s\up14(→))＋eq \(AB,\s\up14(→))＝(2eq \r(2)，2eq \r(2))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))