高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积课后测评

8.3.2   圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

一、选择题

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为

A．1∶2 B．1∶

C．1∶ D．∶2

【答案】C

【解析】设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r．∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr故选C．

2．（2017新课标全国Ⅲ理科）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，

结合勾股定理，底面半径，

由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.

3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】圆柱的底面半径为r＝1，母线长为l＝2，

则它的侧面积为S侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．

故选：D．

4．圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为10，则圆台的侧面积为(　　)．

A．81π B．100π C．14π D．169π

【答案】B

【解析】设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r，高为4r，结合母线长10，可求出r=2．然后由圆台侧面积公式得，．

5．（多选题）一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（    ）

A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为

C．圆柱的侧面积与球面面积相等 D．圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2

【答案】CD

【解析】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为，∴A错误；

圆锥的侧面积为，∴B错误；

球面面积为，∵圆柱的侧面积为，∴C正确；

，，

，∴D正确.

故选：CD.

6．（多选题）如图所示，的三边长分别是，，，过点C作，垂足为D.下列说法正确的是（    ）

A．以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π

B．以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π

C．以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π

D．以所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π

【答案】AD

【解析】以所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥

∴侧面积为，体积为，∴A正确，B错误；

以所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥

侧面积为，体积为，∴C错误，D正确.

故选：AD.

二、填空题

7．    已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为____.

【答案】

【解析】

设正方体边长为 ，则 ，

外接球直径为.

8．如图，若球的半径为5，一个内接圆台的两底面半径分别为3和4（球心在圆台的两底面之间），则圆台的体积为______．

【答案】

【解析】解：作经过球心的截面（如图），由题意得，，，则，，，

所以.

9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为4的正方形，则该圆柱的表面积为_______．

【答案】

【解析】由题意，圆柱的截面是面积为4的正方形，可得其边长为2，

可得圆柱的底面半径为，母线，

所以该圆柱的表面积为。

10．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的底面边长为         ，体积是               .

【答案】    

【解析】由球的体积公式，得，解得,所以正三棱柱的高h=2R=4．设正三棱柱的底面边长为a，则其内切圆的半径为：，得，所有该正三棱柱的体积为

三、解答题

11．在底面半径为2母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．

【答案】．

【解析】设圆柱的底面半径为r，表面积为S，

底面半径为2母线长为4的圆锥的高为=2，

则圆柱的上底面为中截面，可得r=1

∴2，

∴．

12．如图所示，半径为R的半圆内（其中）的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积及体积。

【答案】

【解析】如图所示，过C作于，在半圆中可得，

又，，∴，，，

∴，，

∴，

∴旋转所得到的几何体的表面积为.

又，，，

∴.