人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时巩固练习

8.6.2 直线与平面垂直  

第2课时 直线与平面垂直的性质

一、选择题

1.在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是(　　)

A．相交　　　　　　　 B．平行

C．异面   D．相交或平行

【答案】B　

【解析】由于这条垂线与圆柱的母线都垂直于底面，所以它们平行．故选B。

2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)

A．l和平面α相互平行

B．l和平面α相互垂直

C．l在平面α内

D．不能确定

【答案】D　

【解析】如下图所示，直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直或直线l在平面α内都有可能．故选D.

3．如图所示，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是(　　)

A．异面   B．平行  C．垂直   D．不确定

【答案】C　

【解析】∵BA⊥α，α∩β＝l，l⊂α，∴BA⊥l.

同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，∴l⊥平面ABC.

∵AC⊂平面ABC，∴l⊥AC.故选C。

4．三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的(　　)

A．内心      B．重心     C．外心    D．垂心

【答案】C　

【解析】如图，设点P在平面ABC内的射影为O，连接OA，OB，OC.

∵三棱锥的三条侧棱两两相等，∴PA＝PB＝PC.

∵PO⊥底面ABC，

∴PO⊥OA，PO⊥OB，PO⊥OC，

∴Rt△POA≌Rt△POB≌Rt△POC，

∴OA＝OB＝OC，

故顶点P在底面的射影为底面三角形的外心．

5.（多选题）空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)

A．垂直      B．相交    C．不相交   D．不垂直

【答案】AC　

【解析】取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥平面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选AC.

6.（多选题）已知a，b，c为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题,其中不正确的有(　　)

A.a⊥α，b∥β，且α∥β⇒a⊥b；         B.a⊥b，a⊥α⇒b∥α；

C.a⊥α，b⊥α，a∥c⇒b∥c；              D.a⊥α，β⊥α⇒a∥β.

【答案】　BD

【解析】　A 正确；B中b⊂α有可能成立，故B不正确；C正确；D中a⊂β有可能成立，故D不正确.故选BD.

二、填空题

7．已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝        .

【答案】6　

【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.

8．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，PA⊥平面ABC，此图形中有        个直角三角形．

【答案】4　

【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∵AC⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 综上知： △ABC，△PAC，△PAB，△PBC都是直角三角形，共有4个．

9.若直线AB∥平面α，且点A到平面α的距离为2，则点B到平面α的距离为________.

【答案】　2

10.已知四棱锥的底面ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，E为PD中点，过EB作平面分别与线段PA、PC交于点M，N，且，则________；四边形EMBN的面积为________.

【答案】       

【解析】延伸平面，交所在的平面于，即平面平面，

又平面平面，

，即三点共线，

又，由线面平行的性质定理可得，

则，即，

点为的中点，又E为PD中点，

则，

，

，又，

，则，

过作交于点，

，

则，

；

连接，

由同理可得，

，

又平面ABCD，平面ABCD，

，又，

面，又面，

，，

，

，

又，

所以四边形EMBN的面积为.

故答案为：；.

三、解答题

11.如图，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE. 求证：AE⊥BE.

【证明】　∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，

∴BC⊥平面ABE.

又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.

∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.

又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，

∴AE⊥平面BCE.

又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.

12.如图，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，M、N分别是AB、PC的中点．

（1）求证：MN⊥CD；

（2）若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD．

【答案】见解析

【解析】

证明：(1）如图所示，取PD的中点E，连接AE、NE，

∵N为PC的中点，E为PD的中点，∴NE∥CD且NE＝CD，而AM∥CD

且AM＝AB＝CD，∴NE∥AM且NE＝AM，∴四边形AMNE为平行四边形，

∴MN∥AE.又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵ABCD为矩形，∴AD⊥CD，又AD∩PA＝A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE，又AE∥MN，∴MN⊥CD.

(2）由(1）可知CD⊥AE，MN∥AE.又∠PDA＝45°，∴△PAD为等腰直角三角形，

又E为PD的中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD. 又AE∥MN，∴MN⊥平面PCD.