高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时习题

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8.6.3 平面与平面垂直第1课时 平面与平面垂直的判定一、选择题1．在长方体中，，，则二面角的大小是（    ）A．30º B．45º C．60º D．90º【答案】A【解析】由题意，作出长方体的图象，取中点为，连接、，因为平面，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因为，所以四边形是正方形，为中点，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，，所以，.故选：A2．如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)A． B． C． D．【答案】C【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故选C．3．如图，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是　(　　)A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【答案】D【解析】对于A，因为点E，F分别是AB,AP的中点，所以，又平面，平面，所以平面．同理平面，又,所以平面平面．因此A正确．对于B，因为,所以平面．又,所以平面，又平面，所以平面平面．因此B正确．对于C，由于平面平面，且与平面PAB交于EF，PB，∴所以∠BPC是直线EF与直线PC所成的角．因此C正确．对于D，由于FE,GE与AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正确．综上选项D不正确．选D．4．已知是圆柱上底面的一条直径，是上底面圆周上异于，的一点，为下底面圆周上一点，且圆柱的底面，则必有（    ）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因为是圆柱上底面的一条直径，所以，又圆柱的底面，所以，因为，所以平面.又平面，所以平面平面.    故选：B.5．（多选题）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，侧面为正三角形，且平面平面，则下列说法正确的是（    ）A．在棱上存在点M，使平面B．异面直线与所成的角为90°C．二面角的大小为45°D．平面【答案】ABC【解析】解：如图，对于，取的中点，连接，∵侧面为正三角形，，又底面是菱形，，是等边三角形，，又，，平面，平面，故正确.对于，平面，，即异面直线与所成的角为90°，故正确.对于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，设，则，，在中，，即，故二面角的大小为45°，故正确.对于，因为与不垂直，所以与平面不垂直，故错误.故选：6．（多选题）如图，梯形中，，，，，将沿对角线折起.设折起后点的位置为，并且平面平面.给出下面四个命题正确的：()A． B．三棱锥的体积为C．平面 D．平面平面【答案】CD【解析】如图所示：为中点，连接 ，，得到 又故为等腰直角三角形平面平面， ，所以平面，所以C正确为中点，则平面 所以如果，则可得到平面，故 与已知矛盾.故A错误三棱锥的体积为 .故B错误在直角三角形中， 在三角形中， 满足又 所以平面，所以平面平面，故D正确综上所述：答案为CD 三、填空题7．在长方体中，，，则平面与平面所成的二面角的正弦值是_________.【答案】【解析】画出图像如下图所示，将平面延展成平面，将平面延展成平面，平面与平面相交于，且，所以是平面与平面所成的二面角.在中，所以.故答案为：8．如图，在四棱锥中，底面且底面各边都相等，是上一点， 当点满足           时，平面平面（只要填写一个你认为正确的条件即可）【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】连接，因为底面，所以,因为四边形的各边相等，所以,且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的与相交的直线即可，所以可填；故填．9．如图所示，正方形的边长为，已知，将沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．【答案】③④【解析】作出折叠后的几何体直观图如图所示：∵AB=a,BE=a,∴AE=a.∴.∵BC∥DE，∴∠ABC是异面直线AB，DE所成的角，在Rt△ABC中, ,故①不正确；连结BD，CE，则CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD⊂平面ABD，AD⊂平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB⊂平面ABD，∴CE⊥AB.故②错误．三棱锥B−ACE的体积.故③正确．∵AD⊥平面BCDE，BC⊂平面BCDE，∴BC⊥AD，又BC⊥CD，∴BC⊥平面ACD，∵BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.故答案为③④．10．如图所示，在长方体中，棱与棱的位置关系是_________，棱与平面的位置关系是__________，平面与平面的位置关系是_________.【答案】平行    垂直    垂直    【解析】根据长方体的性质可知，棱与棱平行，棱与DC,DH垂直，所以棱与平面垂直，长方体的侧面与底面垂直，故平面与平面垂直.三、解答题11．已知四棱锥的底面是菱形，，的中点是顶点在底面的射影，是的中点．　　　（1）求证：平面平面；（2）若，直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)见解析（2）【解析】 (1)证明　∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC.(2)解　　过点B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH⊥平面PMC，∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，MC＝＝a.又由(1)知MB⊥BC，∴在△MBC中，BH＝＝a，由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，∴sin∠BNH＝＝＝.12．如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面 平面.【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面．（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面．