人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第2课时同步达标检测题

8.6.3 平面与平面垂直

第2课时 平面与平面垂直的性质

一、选择题

1．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，（ ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】A

【解析】

试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则两面垂直，可得，

可得

2．如图所示，在平行四边形中，，沿将折起，使平面平面，连接，则在四面体的四个面中，互相垂直的平面的对数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【解析】

∵面ABD⊥面BCD，AB⊥BD，∴AB⊥面BCD，又AB⊂面ABC，

∴面ABC⊥面BCD，同理，面ACD⊥面ABD.

故四面体ABCD中互相垂直的平面有3对．

3．如图所示，三棱锥的底面在平面内，且，平面平面，点是定点，则动点的轨迹是（    ）

A．一条线段 B．一条直线 C．一个圆 D．一个圆，但要去掉两个点

【答案】D

【解析】

因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC，

AC⊂平面PAC，所以AC⊥平面PBC.

又因为BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.

所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.

选D.

4．已知平面平面，，点，，直线，直线，直线，，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】如图所示：

由于，，，所以，又因为，所以，故A正确，

由于，，所以，故B正确，

由于，，在外，所以，故C正确；

对于D，虽然，当不一定在平面内，故它可以与平面相交、平行，不一定垂直，所以D不正确；

故答案选D

5．（多选题）给定下列四个命题：

A.若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；

B.若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；

C.垂直于同一直线的两条直线相互平行；

D.若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是(  )

A．①和②    B．②和③    C．③和④    D．②和④

【答案】BD

【解析】当两个平面相交时，一个平面内的两条直线也可以平行于另一个平面，故A错误；由平面与平面垂直的判定可知B正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线还可以相交或者异面，故C错误；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故D正确．综上，真命题是BD.

故选：BD

6．（多选题）如图所示，在直角梯形中，，分别是上的点，，且(①).将四边形沿折起，连接(②).在折起的过程中，下列说法中正确的是（    ）

A．平面

B．四点不可能共面

C．若，则平面平面

D．平面与平面可能垂直

【答案】ABC

【解析】选项A中，连接，取的中点，的中点，

连接，且，

而且，

所以且

所以四边形是平行四边形，

所以，而平面，平面，

所以平面，

所以A正确；

选项B中，设四点共面，

因为，平面，平面，

所以平面，

而平面，平面平面，

所以，

所以，这与已知相矛盾，

故四点不可能共面，

所以B正确；

选项C中，连接，

在梯形中，易得，

又，平面，，

所以平面

而平面，所以，

而，平面，且与必有交点，

所以平面，

因为平面，

所以平面平面，

所以C正确；

选项D中，延长至，使得，连接，

，，平面，，

所以平面，

而，所以平面，

因为平面，所以平面平面，

过作于，平面，平面平面，

所以平面，

若平面平面，

则过作直线与平面垂直，其垂足在上，

故前后矛盾，

所以D错误.

故选：ABC.

二、填空题

7．如图，四面体中，，平面平面，，，则_______.

【答案】13

【解析】

取的中点，连接.

因为，，所以，所以.

因为，是的中点，所以.

因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因为平面，所以.

在中，.

8．如图所示，为空间四点，在中，，等边三角形以为轴运动，当平面平面时，________.

【答案】2.

【解析】取的中点，连接.因为是等边三角形，所以.当平面平面时，因为平面平面，且，所以平面，故.由已知可得，在中，.

9．平面平面，，，，直线（，是两条不同的直线），则直线与的位置关系是______.

【答案】

【解析】解：因为平面平面，，，，

由面面垂直的性质可得，又，所以.

故答案为：

10．已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，垂足为A，连接PB，PC，PD，则平面PAB，平面PAD，平面PCD，平面PBC，平面ABCD中，互相垂直的平面有        对.

【答案】5

【解析】，又

，同理，平面平面，平面平面，所以互相垂直的平面共有5对.

三、解答题

11．已知是所在平面外的一点，且平面，平面平面.求证:.

【答案】证明见解析

【解析】如图，在平面内作于点，

∵平面平面，平面平面，

平面，且，

平面，

又平面，

.

平面，平面，

，

，平面，

平面，

又平面，

.

12．如图，三棱锥中，已知是等腰直角三角形，，是直角三角形，，平面平面.求证：平面平面.

【答案】证明见解析

【解析】证明  ∵平面平面，平面平面，

又是直角三角形，

所以，

平面.

又平面，.

，，平面，平面，

平面.又平面，

故平面平面.