数学必修 第二册第八章 立体几何初步8.5 空间直线、平面的平行当堂检测题

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基础巩固
1.如果直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，那么直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 内的（ ）
A．一条直线不相交B．两条直线不相交
C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交
【答案】D
【详解】
根据线面平行的定义，直线 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则线面无公共点，
对于C，要注意“无数”并不代表所有.
2．如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．以上均有可能
【答案】B
【详解】
四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的点，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
由直线与平面平行的性质定理可得： SKIPIF 1 < 0 ．
3.已知正方体的棱 SKIPIF 1 < 0 上存在一点 SKIPIF 1 < 0 （不与端点重合），使得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
如图，设 SKIPIF 1 < 0 ， 可得面 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，根据线面平行的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
4.如图，在四面体 SKIPIF 1 < 0 中，截面 SKIPIF 1 < 0 是正方形，则在下列命题中，错误的为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 截面 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D．异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角为 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；
5.如果直线直线n，且平面，那么n与的位置关系是
A．相交B．C．D．或
【答案】D
【详解】
直线直线 ,且平面，
当不在平面内时，平面内存在直线，
符合线面平行的判定定理可得平面，
当在平面内时，也符合条件，
与的位置关系是或，
6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知E，F，G分别是线段A1C1上的点，且A1E＝EF＝FG＝GC1.则下列直线与平面A1BD平行的是（ ）
A．CEB．CFC．CGD．CC1
【答案】B
【详解】
如图，连接AC，使AC交BD于点O，连接A1O，CF，
在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，由于 SKIPIF 1 < 0 ，
又OC＝ SKIPIF 1 < 0 AC，可得： SKIPIF 1 < 0 ，即四边形A1OCF为平行四边形，
可得：A1O∥CF，又A1O⊂平面A1BD，CF⊄平面A1BD，
可得CF∥平面A1BD，
7.在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，下面四条直线中与平面 SKIPIF 1 < 0 平行的直线是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
如图所示，易知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，
SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
8.① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【详解】
矩形 SKIPIF 1 < 0 的对角线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点O，所以O为 SKIPIF 1 < 0 的中点，在 SKIPIF 1 < 0 中，M是 SKIPIF 1 < 0 的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 是中位线，
故 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
因为点M在 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 、平面 SKIPIF 1 < 0 相交，所以④⑤错误.
故正确的结论为①②③，共有3个.
9.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面交线的位置关系是（ ）
A．异面B．相交C．平行D．平行或重合
【答案】C
【详解】
设α∩β＝l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ＝b，β∩γ＝c，
则a∥b且a∥c，由线面平行的性质定理可得b∥c．
又∵b⊂α，c⊄α，
∴c∥α．又∵c⊂β，α∩β＝l，
∴c∥l．
∴a∥l．
10．如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别是棱 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，过 SKIPIF 1 < 0 的平面 SKIPIF 1 < 0 分别交 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的位置关系是（ ）
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【答案】A
【详解】
在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
11.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【详解】
解：在A中，连接AC，则AC∥MN，由正方体性质得到平面MNP∥平面ABC，
∴AB∥平面MNP，故A成立；
对于B，若下底面中心为O，则NO∥AB，NO∩面MNP＝N，
∴AB与面MNP不平行，故B不成立；
对于C，过M作ME∥AB，则E是中点，
则ME与平面PMN相交，则AB与平面MNP相交，
∴AB与面MNP不平行，故C不成立；
对于D，连接CE，则AB∥CE，NP∥CD，则AB∥PN，∴AB∥平面MNP，故D成立.
12.在正方体中，，，分别为，，的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．点到平面的距离是点到平面的距离的2倍
【答案】BCD
【详解】
由于，而与不垂直，因此异面直线与不能垂直，则A错误；
取的中点，连接，，
由条件可知：，，所以平面，平面，
又，，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，则B正确；
异面直线与所成的角为或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
由余弦定理知，则C正确；
对于D，连接，与交于(也是与平面的交点)，
连接，设点与点到平面的距离分别为，，
则，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的2倍，则D正确.
拓展提升
13．如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，且 SKIPIF 1 < 0 ．点E是棱PC的中点，平面 SKIPIF 1 < 0 与棱PD交于点F．
(1)求证: SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
(2) 求证： SKIPIF 1 < 0 ；
【答案】（1）证明见解析；(2) 证明见解析.
【详解】
(1)因为底面 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ．
(2)由(1)可知 SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 四点共面，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
14.如图所示，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的正方形，侧面 SKIPIF 1 < 0 是以 SKIPIF 1 < 0 为斜边的等腰直角三角形，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
（1）证明： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .
（2）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 又平面 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 就是直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的角.
由勾股定理可求得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 .
15．如图，四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点．
（Ⅰ）证明： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；
（Ⅱ）求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，由已知结合三角形中位线定理可得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，得四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，从而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再由线面平行的判定可得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；（Ⅱ）利用等积法可得： SKIPIF 1 < 0 ，代入棱锥体积公式可得点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离．
试题解析：（Ⅰ）证明：取点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
∴四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离与 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离是相等的，故转化为求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离，设为 SKIPIF 1 < 0 ．
利用等体积法： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．