必修 第二册6.2 平面向量的运算练习题

这是一份必修 第二册6.2 平面向量的运算练习题，共8页。

基础巩固
1．设非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足| SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 |＝| SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 |，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 B．| SKIPIF 1 < 0 |＝| SKIPIF 1 < 0 |
C． SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 D．| SKIPIF 1 < 0 |>| SKIPIF 1 < 0 |
【答案】A
【详解】
利用向量加法的平行四边形法则．
在▱ABCD中，设 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，
由| SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 |＝| SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 |知 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示.
从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，
故 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0 .
.
2．在五边形 SKIPIF 1 < 0 中（如图）， SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 .
3．如图， SKIPIF 1 < 0 分别为正方形 SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 的中点，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 。
4．若 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 是平面内任意四点，给出下列式子：① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的有（ ）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
【答案】B
详解：①式的等价式是 SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，左边= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，右边= SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，不一定相等；
② SKIPIF 1 < 0 的等价式是： SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 - SKIPIF 1 < 0 ，左边=右边= SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
③ SKIPIF 1 < 0 的等价式是： SKIPIF 1 < 0 = SKIPIF 1 < 0 + SKIPIF 1 < 0 ，左边=右边= SKIPIF 1 < 0 ，故正确；
5．点 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形 SKIPIF 1 < 0 的两条对角线的交点，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
数形结合可知：
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
6．如图，在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
由题，在空间四边形 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
点 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的中点，则 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0
7．在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，则必有（ ）.
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 是矩形D． SKIPIF 1 < 0 是正方形
【答案】C
【详解】
在平行四边形 SKIPIF 1 < 0 中，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即对角线相等，
因为对角线相等的平行四边形是矩形，
所以 SKIPIF 1 < 0 是矩形.
8．在△ABC中，N是AC边上一点，且 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，P是BN上的一点，若 SKIPIF 1 < 0 ＝m SKIPIF 1 < 0 ＋ SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值为( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．3
【答案】B
【详解】
设 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
9．（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ⃗是共线向量，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量
C． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 单位向量，则| SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 |
【答案】AB
【详解】
长度为1的所有向量都称之为单位向量，方向可能不同，故A错误;
因为零向量与任何向量都共线，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以为任意向量，故B错误;
SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 起点相同，利用平行四边形法则做出 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，根据向量加法和减法的几何意义可知此平行四边形对角线相等，故为矩形，所以邻边垂直，即 SKIPIF 1 < 0 ⊥ SKIPIF 1 < 0
若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 单位向量，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 |=| SKIPIF 1 < 0 |
10.（多选）下列命题不正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是共线向量
C． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是单位向量，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB.
【详解】
解：对A，D由单位向量的定义知：单位向量的模为 SKIPIF 1 < 0 ，方向是任意的，故A错误，D正确；
对B，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 可以不共线，故B错误；
对D， SKIPIF 1 < 0 ，即对角线相等，此时四边形为矩形，邻边垂直，故D正确.
11．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BD
【详解】
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 不正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，选项 SKIPIF 1 < 0 不正确；
对于选项 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0
选项 SKIPIF 1 < 0 正确.
12．（多选）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的中心为 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论中正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是一对相反向量
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是一对相反向量
C． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是一对相反向量
D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是一对相反向量
【答案】ACD
【详解】
∵ SKIPIF 1 < 0 为正方体的中心，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，∴A、C正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是两个相等的向量，∴B不正确；
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴D正确.
拓展提升
13．作图验证： SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】见解析
【详解】
当 SKIPIF 1 < 0 中至少有一个为 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 显然成立（图略）；
当 SKIPIF 1 < 0 不共线时，作图如图（1），显然 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 共线时，同理可作图如图（2）所示．

14．如图，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在边 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，试用 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 线性表示 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）在（1）的条件下，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】
解：（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由（1）可得 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .
15．如图，已知空间四边形 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果.
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；作图见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 ；作图见解析.
【详解】
（1） SKIPIF 1 < 0 ，如图中向量 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
如图中向量 SKIPIF 1 < 0 .