高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用一课一练，共9页。


基础巩固
1．若直线 SKIPIF 1 < 0 经过点 SKIPIF 1 < 0 ，且直线 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】
设直线 SKIPIF 1 < 0 上的动点 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ,
SKIPIF 1 < 0 直线 SKIPIF 1 < 0 的方程为 SKIPIF 1 < 0 ，
2．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状是（ ）
A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等边三角形
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 为直角三角形.
3．已知 SKIPIF 1 < 0 的面积为2,在 SKIPIF 1 < 0 所在的平面内有两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ,满足 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 的面积为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．1D．2
【答案】B
【详解】
解:由题意 SKIPIF 1 < 0 可知, SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点,
SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的一个三等分点,如图：
因为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .
4．在 SKIPIF 1 < 0 中，角 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所对的边分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能判定
【答案】B
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，可化简为： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的形状为直角三角形.
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
【详解】
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，∴ SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又∵ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
6．在 SKIPIF 1 < 0 中，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形”的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为钝角，
SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 ” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形”，
另一方面，“ SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形” SKIPIF 1 < 0 “ SKIPIF 1 < 0 是钝角”.
因此，“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为钝角三角形”的充分非必要条件.
7．设平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为锐角，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的范围为 SKIPIF 1 < 0 .
8．在△ABC中， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 0，则△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形
【答案】D
【详解】
由题意 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 是三角形内角，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
∴ SKIPIF 1 < 0 是钝角三角形．
9．在直角三角形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 是斜边 SKIPIF 1 < 0 的中点，则向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】
如图：
向量 SKIPIF 1 < 0 在向量 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影是
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
10．（多选）如图， SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，E为CD的中点，AE与DB交于F，则下列叙述中，一定正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】
因为在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得
SKIPIF 1 < 0 ，所以满足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又E为CD的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
对于A选项： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B选项： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C选项： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D选项： SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负值舍去），故D不正确，
11．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值可以是（ ）
A．17B．-17C．-1D．1
【答案】AC
【详解】
解:因为 SKIPIF 1 < 0 ,
且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为 SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 ,
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
12．（多选）已知 SKIPIF 1 < 0 是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 上的两点，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于点 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】
由题E为AB中点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以， SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
即O是CE中点， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，所以选项C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以选项A错误；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影为 SKIPIF 1 < 0 ，所以选项D正确.
拓展提升
13．已知位置向量 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的终点分别为 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,试判断 SKIPIF 1 < 0 的形状.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形
【详解】
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 为等腰直角三角形.
14．已知A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角，向量 SKIPIF 1 < 0 ＝（sin A，sin B）， SKIPIF 1 < 0 ＝（cs B，cs A），且 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝sin 2C.
（1）求角C的大小；
（2）若sin A，sin C，sin B成等差数列，且 SKIPIF 1 < 0 ·（ SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 ）＝18，求边c的长.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2）6.
【详解】
（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝sin Acs B＋cs Asin B＝sin(A＋B)，
因为A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝sin C，又 SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝sin 2C，
所以sin 2C＝sin C，所以cs C＝ SKIPIF 1 < 0 .
又0＜C＜π，所以C＝ SKIPIF 1 < 0 .
（2）由已知及正弦定理得2c＝a＋b.
因为 SKIPIF 1 < 0 ·( SKIPIF 1 < 0 － SKIPIF 1 < 0 )＝ SKIPIF 1 < 0 · SKIPIF 1 < 0 ＝18，
所以abcs C＝18，所以ab＝36.
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C＝(a＋b)2－3ab，
所以c2＝4c2－3×36，
所以c2＝36，所以c＝6.
15．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 边上且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的长；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
（2）先由题意，得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再由向量数量积的运算法则，以及题中条件，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出结果.
【详解】
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
同除以 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 .