人教版九年级上册21.1 一元二次方程导学案

21.1 一元二次方程 学案

知识点归类

一元二次方程的由来

建立一元二次方程模型的步骤是：审题.设未知数.列方程。

注意：（1）审题过程是找出已知量.未知量及等量关系；（2）设未知数要带单位；（3）建立一元二次方程模型的关键是依题意找出等量关系。

例 如图（1），有一个面积为150㎡的长方形鸡场，

鸡场一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，

若竹篱笆的长为35m，求鸡场的长和宽各为多少？           鸡场

（只设未知数，列出方程，并将它化成一般形式。） 

知识点一  一元二次方程的定义

等号两边都是　　　　 ，只含有一个　　　　  （一元），并且未知数的最高次数是　　（二次）的方程，那么这样的方程叫做一元二次方程。

注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。

③未知数的最高次数是2.同时还要注意在判断时，应将方程化简之后再判断。

题型1：定义

例1：下列关于的方程，哪些一定是一元二次方程？

（1） ；   （2）；          （3）；  

（4）；       （5）；    （6）

例2：已知关于的方程是一元二次方程时，则_________；

例3：已知关于的方程是一元二次方程时，则        ；

例4：已知（m+3）x2－3mx－1=0是一元二方程，则m的取值范围是          。

例5：试证明：无论取何实数，关于的方程都是一元二次方程

知识点二 一元二次方程的一般形式

一般式：一元二次方程的一般形式为（a，b，c是已知数，）。

*其中       是二次项，       二次项是系数；

             是一次项，       是一次项系数；

      是常数项。

注意：（1）二次项.二次项系数.一次项.一次项系数，常数项都包括它前面的符号。

（2）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数.一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。

（3）形如不一定是一元二次方程，当且仅当时是一元二次方程，但对b,c是否为0并没有限制。

（4）在将一个一元二次方程整理成一般形式时，习惯于将二次项系数变成正数。

题型1：一般式

例1：将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数.一次项系数和常数项。

（1）；            （2）；            （3）

例2 已知关于的方程是一元二次方程时，则       

例3:填表

课堂检测：

1.下列方程一定是一元二次方程的是_________________________．（只填序号）．

  （1）x2=5；   （2）x2+xy+3=0；   （3）x+=2；   （4）mx2+x+1=0（m≠0）；   （5）ax2+bx+c=0；

  （6）x2+3x+1=0；   （7）x2+1=0；    （8）2+=0．

2.一元二次方程（2x+1）（x－1）=3x+1化为一般形式是___________________，二次项是______，一次项是_______，常数项是_________．

3.一元二次方程x2=7的二次项系数是_____，一次项系数是______，常数项是_______．

4.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围为__________。

5.关于的方程

（1）当满足___________条件时，方程为一元二次方程；

（2）当满足___________条件时，方程为一元一次方程；

知识点3：一元二次方程的解（根）  

使方程左.右两边相等的未知数的值叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。                   

 如：下面哪些x²-x-2=0的根？

-3，-2，-10，1，2，3

题型1：利用解求方程中某字母的值

例1：已知关于的方程的一个根为，则实数的值为______。

例2：关于的一元二次方程的一个根为0，则的值为________。

例3：在关于的一元二次方程 中，满足下面等式

（1）若，则一元二次方程有一根_______。

（2）若，则一元二次方程有一根_______。

题型2：利用根求代数式的值

例1：已知若是方程的一个解，则=__________。

例2：已知是方程的两根，则代数式的值为________。

例3：已知是方程的一个解，且，则的值为_______。

例4：已知实数是一元二次方程的根，则代数式的值为_______。

例5：已知是方程的根

（1）则=_____________；         （2）则=_____________。

当堂检测：

1、已知1是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______。

2、若是方程的一个根，则的值为______。

3、已知是一元二次方程的一个根，且，则的值为_______。

4、已知关于的一元二次方程有一个非零根，则的值为________。

5、若，则的值为_______。

6、若正数是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，则的值为_________。

7、已知，代数式的值为_______。

8、如果，那么代数式的值为_________。

9、若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_________。

解二元一次方程

解法一：  直接开平方法解一元二次方程

若，则叫做a的平方根，表示为，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

利用平方根的定义直接开方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开方法

如：（1）的解是；

   （2）的解是；

   （3）的解是。

题型1：直接开方法解一元二次方程

例1：用直接开平方法解下列一元二次方程

（1）；         （2）；             （3）

例2：解下列方程

（1）            （2）           （3）

（4）        （5）            （6）

题型2：综合提升

例1：用直接开方法解下列方程，其中无解的是（      ）

  A.        B.        C.         D.

例2：若关于的方程有解，则的取值范围为____________。

例3：若关于的方程有解，则此方程的解为____________。

例4：若关于的方程有解，则要满足的条件是_________________。

例5：已知关于的方程的两根为，则方程的两根分别为___________；=_______。

例6：若方程的解是则。

当堂检测：

1、若方程有实数根，则的取值范围为__________。

2、已知一元二次方程的一个根为0，则的值为______。

3、若方程的左边是一个完全平方式，则的值为______。

4.解下列方程

（1）                       （2）

(3)                            （4）

（5）                          （6）