初中数学苏科版九年级上册1.4 用一元二次方程解决问题导学案

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知识点一：增长率问题
知识点二：销售问题
知识点三：数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.
如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：
100c+10b+a.
几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
知识点四：几何图形、面积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
同步训练
一．选择题（共8小题）
1．某农机厂四月份生产零件50万个，六月份生产零件182万个．设该厂平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．50（1+x）2＝182
B．50+50（1+x）+50（1+x）2＝182
C．50（1+x）+50（1+x）2＝182
D．50+50（1+x）＝182
【解答】解：设平均每月的增长率为x，则五月份生产零件50（1+x）万个，六月份生产零件50（1+x）（1+x）万个，
故可得：50（1+x）（1+x）＝61，即50（1+x）2＝182．
故选：A．
2．2018年一季度，华为某地销售公司营收入比2017年同期增长22%，2019年第一季度营收入比2018年同期增长30%，设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，则可列方程（ ）
A．2x＝22%+30%
B．（1+x）2＝1+22%+30%
C．1+2x＝（1+22%）（1+30%）
（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）
【解答】解：设2018年和2019年第一季度营收入的平均增长率为x，根据题意可得：
（1+x）2＝（1+22%）（1+30%）．
故选：D．
3．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每个同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意，可列出的方程是（ ）
A．x（x+1）＝210B．x（x﹣1）＝210
C．2x（x﹣1）＝210D．x（x﹣1）＝210
【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝210，
故选：B．
4.某种服装原价每件80元，经两次降价，现售价每件64.8元，这种服装平均每件降价的百分率是 ．
【解答】解：设这种服装平均每件降价的百分率是x，由题意得
80（1﹣x）2＝64.8
∴（1﹣x）2＝0.81
∴1﹣x＝0.9或1﹣x＝﹣0.9
∴x＝10%或x＝1.9（舍）
故答案为10%．
5.一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．
【解答】解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，
（4﹣2x）（3﹣2x）＝4×3×，
整理得：2x2﹣7x+3＝0，
6.如图，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，动点P从A出发沿AB向B移动，通过点P引PQ∥AC，PR∥BC，问当AP等于多少时，平行四边形PQCR的面积等于16cm2？设AP的长为xcm，列出关于x的方程．
【解答】解：设AP的长为xcm时，▱PQCR的面积等于16cm2，依题意有
x（8﹣x）＝16
专题精炼
1.一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？若设降价x元，可列方程 ．
【解答】解：设每件商品降价x元，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
故答案为：（40﹣x）（20+2x）＝1200．
2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：
（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为 元．
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利 元，平均每天可售出 件（用含x的代数式进行表示）
（3）请列出方程，求出x的值．
【解答】解：（1）20×45＝900，
故答案为：900；
（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，
故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；
（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，
解得：x1＝10，x2＝30．
因尽快减少库存，故x＝30．
答：每件衬衫应降价30元．
3.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，
根据题意，商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数，
则有w＝（20+2x）（40﹣x）
＝﹣2x2+60x+800
＝﹣2（x﹣15）2+1250
即当x＝15时，w有最大值，为1250，
答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250．
4．将进价为40元的商品按50元出售时，商场每月能卖出500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就减少1个，为了每月赚8000元，售价应定为多少？设每个商品售价定为x元（x＞50），列出方程，化为一般形式，不求解．
【解答】解：设单价应定为x元，则根据题意可得：
（x﹣40）[500﹣（x﹣50）]＝8000．
整理得x2﹣590x+30000＝0．
综合训练
1.已知某工厂计划经过两年的时间，把某种产品从现在的年产量100万台提高到121万台，那么每年平均增长的百分数是 %．按此年平均增长率，预计第4年该工厂的年产量应为 万台．
解：设年平均增长率为x，依题意列得100（1+x）2=121
解方程得x1=0.1=10%，x2=﹣2.1（舍去）
所以第4年该工厂的年产量应为121（1+10%）2=146.41万台．
故答案为：10，146.41
2.随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．
（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；
（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得
10×（1+x）2=12.1，
解得：x1=10%，x2=﹣210%．
答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．
（2）4月：12.1×1.1=13.31（万件）
21×0.6=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．
∴至少还需增加2名业务员．
3.江南五月碧苍苍，“四时之果”枇杷黄．每年五月到六月正是枇杷成熟的季节，大街小巷到处可见金灿灿、黄橙橙的枇杷，让人直咽口水．枇杷不仅柔甜多汁，甘酸适口，而且有不错的药用价值，深受市民的喜爱的是“大五星”枇杷和“白玉”枇杷．“重庆百果园”水果超市5月上旬购进“大五星”枇杷和“白玉”枇杷共1000千克，进价均为每千克32元，然后“白玉”枇杷以60元/千克、“大五星”枇杷以48元/千克的价格很快售完．
（1）若超市5月上旬售完所有枇杷获利不低于23200元，求购进“白玉”枇杷至少多少千克？
解：（1）设购进“白玉”枇杷x千克，则购进“大五星”枇杷（1000﹣x）千克，根据题意可得：
（60﹣32）x+（48﹣32）（1000﹣x）≥23200，
解得：x≥600，
答：购进“白玉”枇杷600千克；
4.有一个两位数，个位数字与十位数字的和为14，交换数字位置后，得到新的两位数，比这两个数字的积还大38，求这个两位数．
设个位数字为x，则十位数字为14-x，两数字之积为x(14-x)，
两个数字颠倒后的数为10x+(14-x)．
根据题意，得10x+(14-x)-x(14-x)＝38．
整理，得x2-5x-24＝0，
∴ (x-8)(x+3)＝0，∴ x1＝8，x2＝-3．
∵ 个位上的数字不可能是负数，∴ x＝-3舍去．
当x＝8时，14-x＝6，∴ 原数为68．
答：这个两位数是68．
5.
解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
解得：x1=37（舍去），x2=2．
答：修建的路宽为2米．
故答案为：2米．
6.