辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析

这是一份辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

辽宁省锦州市2020-2021学年高二下学期数学期末考试试卷
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1.已知P(B|A)＝ 13 ，P(A)＝ 25 ，则P(AB)等于(   )

A. 56                                        B. 910                                        C. 215                                        D. 115
2.在数列 {an} 中， a1=12 ， an+1=1-1an ，则 a5= （    ）
A. -2                                          B. -1                                          C. 12                                          D. 2
3.播种用的一等小麦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种子.用一、二、三、四等种子长出的穗含50颗以上麦粒的概率分别为0.5，0.15，0.1，0.05，则这批种子所结的穗含50颗以上麦粒的概率为（    ）
A. 0.8                                 B. 0.832 5                                 C. 0.532 5                                 D. 0.482 5
4.《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为（    ）
A. 1.5尺                                   B. 2.5尺                                   C. 3.5尺                                   D. 4.5尺
5.李克强总理提出，要在960万平方公里土地上掀起“大众创业”､“草根创业”的新浪潮，形成“万众创新”､“人人创新”的新势态.为响应国家鼓励青年创业的号召，小王开了两家店铺，每个店铺招收了两名员工，若某节假日每位员工的休假概率均为 13 ，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店铺，使得该店铺能够正常营业，否则该店就停业.则两家店铺该节假日能正常开业的概率为（    ）
A. 19                                          B. 49                                          C. 59                                          D. 89
6.已知 f(x)=alnx+12x2(a>0) ，若对任意两个不等的正实数 x1 ， x2 ，都有 f(x1)-f(x2)x1-x2>2 恒成立，则a的取值范围是（   ）
A. (0,1]                                 B. (1,+∞)                                 C. (0,1)                                 D. [1,+∞)
7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（    ）万元.（四舍五入，精确到整数）
（参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3=1.1576 ， (1.05)4=1.2155 ）
A. 36                                         B. 37                                         C. 38                                         D. 39
8.下列函数图象中，函数 f(x)=xαe|x|(α∈Z) 的图象不可能的是（    ）
A.                                           B. 
C.                                   D. 
二、多选题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
9.下列命题正确的是（    ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍
B. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3 ，则回归直线的方程为 y=0.25x+2.5
10.“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献；某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)服从正态分布，其密度曲线函数为 f(x)=1102πe-(x-100)2200,x∈(-∞,+∞) ，则下列说法正确的是（    ）
A. 该地水稻的平均株高为100cm
B. 该地水稻株高的方差为10
C. 随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率大
D. 随机测量一株水稻，其株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率一样大
11.已知函数f(x)的定义域[-1, 5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，下列关于函数f(x)的结论正确的是（   ）
x
-1
0
4
5
f(x)
1
2
2
1

A. 函数f(x)的极大值点有2个
B. 函数f(x)在[0, 2]上是减函数
C. 若x∈[-1, t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4
D. 当12 可知 f(x1)-2x1-[f(x2)-2x2]x1-x2>0 ，
令 g(x)=f(x)-2x=alnx+12x2-2x(a>0) 为增函数，
所以 g'(x)=ax+x-2≥0(x>0,a>0) 恒成立，
分离参数得 a≥x(2-x) ，
而当 x>0 时， x(2-x) 最大值为 1 ，故 a≥1 。
故答案为：D

【分析】利用已知条件结合不等式恒成立问题的解决方法，再利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的最值，进而求出实数a的取值范围。
7.今年元旦，市民小王向朋友小李借款100万元用于购房，双方约定年利率为5%，按复利计算（即本年利息计入次年本金生息），借款分三次等额归还，从明年的元旦开始，连续三年都是在元旦还款，则每次的还款额约是（    ）万元.（四舍五入，精确到整数）
（参考数据： (1.05)2=1.1025 ， (1.05)3=1.1576 ， (1.05)4=1.2155 ）
A. 36                                         B. 37                                         C. 38                                         D. 39
【答案】 B
【考点】函数模型的选择与应用
【解析】【解答】解：设每次还款额为 x 万元，由题意得
100(1+5%)3=x+x(1+5%)+x(1+5%)2 ，
100×1.053=x+1.05x+1.052x ，
115.76=x+1.05x+1.1025x ，
3.1525x=115.76 ，
x≈37 。
故答案为：B

【分析】利用实际问题的已知条件找出合适的函数模型，再利用函数模型求出每次的还款额。
8.下列函数图象中，函数 f(x)=xαe|x|(α∈Z) 的图象不可能的是（    ）
A.                                           B. 
C.                                   D. 
【答案】 C
【考点】函数的图象，指数函数的图象与性质
【解析】【解答】当 α=2 时， f(x)=x2e|x| ，定义域为 R 关于原点对称.
f(-x)=(-x)2e|-x|=x2e|x|=f(x) ，则 f(x) 为偶函数.
当 x>0 时， f(x)=x2ex .
则 f'(x)=(x2ex)'=(x2)'ex+(ex)'x2=2xex+x2ex=xex(2+x)>0
即函数 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增，则函数 f(x) 在 (-∞,0] 上单调递减.
此时函数 f(x) 的图象可能为 A 选项.
当 α=-2 时， f(x)=e|x|x2 ，定义为 {x|x∈R 且 x≠0} 关于原点对称.
f(-x)=e|-x|(-x)2=e|x|x2=f(x) ，则 f(x) 为偶函数.
当 x>0 时， f(x)=exx2 .
则 f'(x)=(exx2)'=(ex)'x2-(x2)'ex(x2)2=x2ex-2xexx4=ex(x-2)x3
当 00 时， f(x)=xex .
则 f'(x)=(xex)'=(x)'ex+(ex)'x=ex+xex=ex(1+x)>0
令 g(x)=ex(1+x) ，则 g'(x)=[ex(1+x)]'=(ex)'(1+x)+(ex)(1+x)'=ex(x+2)>0
即 f'(x)>0 并且在 (0,+∞) 上单调递增，并且 f(x) 在 (0,+∞) 上单调递增.
根据对称性可知，此时函数 f(x) 的图象可能为 D 选项.
故选：C
【分析】当 α=2 时，验证 A 正确. 当 α=-2 时，验证 B 正确. 当 α=1 时，验证 D 正确.
二、多选题
9.下列命题正确的是（    ）
A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a 倍
B. 抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量
C. 线性相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱
D. 若回归直线的斜率估计值为0.25， x=2 ， y=3 ，则回归直线的方程为 y=0.25x+2.5
【答案】 B,D
【考点】极差、方差与标准差，两个变量的线性相关，线性回归方程，相关系数，连续型随机变量
【解析】【解答】对于A选项，将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数 a 后，方差也变为原来的 a2 倍，A选项错误；
对于B选项，抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是 0 次或 1 次，故是随机变量，B选项正确；
对于C选项，线性相关系数 r2(1-ln2+ln2-1)=0 ，
于是对任意 x∈R ，都有 g'(x)>0 ，所以 g(x) 在 R 内单调递增，
所以当 a>ln2-1 对任意的 x>0 ，都有 g(x)>g(0)=0 成立，
即 g(x)=ex-x2+2ax-1>0 ，即 ex>x2-2ax+1 成立.
【考点】函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）利用求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的单调区间，进而求出函数的极值。
（2） 设 g(x)=ex-x2+2ax-1 ， x∈R ，再利用导数的运算法则求出其导函数，则 g'(x)=ex-2x+2a=(ex-2x+a)+a ， x∈R ，由（1）知， g'(x)≥2-2ln2+a+a=2(1-ln2+a) ，当 a>ln2-1 时， g'(x)>2(1-ln2+ln2-1)=0 ，可知对任意 x∈R ，都有 g'(x)>0 ，再利用求导的方法判断函数的单调性，所以 g(x) 在 R 内单调递增，再利用函数的单调性得出当 a>ln2-1 对任意的 x>0 ，都有 g(x)>g(0)=0 成立，从而证出当 a>ln2-1 且 x>0 时，有 ex>x2-2ax+1 成立。
20.受新冠疫情影响，来我市旅游人数与前几年同期相比有所减少，某土特产超市为预估2021年暑假期间游客购买土特产的情况来制定进货方案，对2020年暑假期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下购买金额及人数分布表：
购买金额（元）
[0,15)
[15,30)
[30,45)
[45,60)
[60,75)
[75,90]
人数
10
15
20
15
20
10
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关；

不少于60元
少于60元
合计
男

40

女
18


合计



（2）售货员佳佳发现：沟帮子烧鸡、锦州小菜、真空包装干豆腐这三种特产成为了本店的“明星”商品.若有一位顾客需要在预选的包括这三种“明星”商品在内的7件（种类均不同）产品中挑选4件特产带回家，求购买的4件特产中包含“明星”商品的件数X的分布列及期望.
附：参考公式和数据：K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d .
附表：
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
P（K2≥k0）
0.150
0.100
0.050
0.010
0.005
【答案】（1）根据题意，得到2×2列联表如下：

不少于60元
少于60元
合计
男
12
40
52
女
18
20
38
合计
30
60
90
可得K2=90×(12×20-40×18)230×60×52×38=1440247≈5.830>3.841，
因此有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有关.

（2）由题意，随机变量X的可能取值为0，1，2，3，且X的分布列是一个超几何分布列，
可得P(x=0)=C30C44C74=135，P(x=1)=C31C43C74=1235，
P(x=2)=C32C42C74=1835，P(x=3)=C33C41C74=435 .
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
135
1235
1835
435
所以期望为E(x)=0×135+1×1235+2×1835+3×435=127 .
【考点】独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件完成 2×2 列联表，再利用列联表中的数据结合独立性检验的方法，判断出有95%的把握认为购买金额是否少于60元与性别有。
（2） 由题意可知随机变量 X 的可能取值为0，1，2，3，且 X 的分布列是一个超几何分布列， 再利用超几何分布求概率的方法求出随机变量X的分布列，再利用随机变量X的分布列结合数学期望公式，进而求出随机变量X的数学期望。
21.已知函数 f(x)=(a-x)sinx-cosx .
（1）当 a=2 时，证明: f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点；
（2）若 f(x)≤2 对 ∀x∈(0,π) 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】 （1）当 a=2 时， f(x)=(2-x)sinx-cosx
∴f'(x)=-sinx+(2-x)cosx+sinx=(2-x)cosx
当 x∈(0,π2) 和 (2,π) 时， f'(x)>0 ；当 x∈(π2,2) 时， f'(x)0     ∴f(x) 在 (π2,2) 上没有零点
∵f(π)=1>0     ∴f(x) 在 (2,π) 上没有零点
综上所述： f(x) 在 (0,π) 上有唯一零点

（2）当 x∈(0,π) 时， f(x)≤2 恒成立等价于 a≤x+2+cosxsinx 对 ∀x∈(0,π) 恒成立
令 g(x)=x+2+cosxsinx ， x∈(0,π)
则 g'(x)=1+-sin2x-(2+cosx)cosxsin2x=-cosx(2+cosx)sin2x
∴ 当 x∈(0,π2) 时， g'(x)