人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积测试题

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1．将一个正方体截去四个角后，得到一个四面体，这个四面体的体积是原正方体体积的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将正方体截去四个角后得到一个四面体，

设正方体的棱长为，

则，

四面体的体积，

所以这个四面体的体积是原正方体体积的.

故选：C.

2．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是　(　　)

A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1

【答案】B

【解析】由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4. 选B.

3．将两个棱长为的正方体铜块熔化后铸成底面边长为的正四棱柱，则该四棱柱的高为（    ）

A．8 cm B．80 cm C．40 cm D．

【答案】B

【解析】∵正方体的棱长为，

∴两个正方体的体积V＝2×10×10×10＝2000cm3，

设熔化后铸成一个正四棱柱的铜块的高为acm，

则5×5×a＝2000

解得a＝80cm

故选：B．

4．如图，已知正六棱柱的最大对角面的面积为1m2，互相平行的两个侧面的距离为1m，则这个六棱柱的体积为(    )

A． B． C．1m3 D．

【答案】B

【解析】设正六棱柱的底面边长为m，高为m，则，，解得.

所以六棱柱的体积.

故选：B.

5．若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】所求八面体体积是两个底面边长为1，高为， 的四棱锥的体积和，一个四棱锥体积V1=，故八面体体积V=2V1=，故选B．

6．棱长为2的正四面体的表面积是_____.

【答案】.

【解析】每个面的面积为，∴正四面体的表面积为.

7．如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.

【答案】10.

【解析】因为长方体的体积为120，

所以，

因为为的中点，

所以，

由长方体的性质知底面，

所以是三棱锥的底面上的高，

所以三棱锥的体积.

8.已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.

【答案】

【解析】如图，

在四棱台中，

过作，垂足为，

在中，，，

故，

所以，

故四棱台的侧面积，

所以四棱台的表面积.

能力提升

9．某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，，，则该组合体的表面积为（    ）

A．20 B． C．16 D．

【答案】A

【解析】由题意，正四棱锥的斜高为，该组合体的表面积为.

故选：A

10．如图直线相交于点，形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器，.设三棱锥高均为1，若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体，且液体能流入下面的三棱锥，则液体流下去后液面高度为______.

【答案】.

【解析】液体部分的体积为三棱锥体积的，流下去后，液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出三棱锥的高为，则，所以，所以液面高度为.

故答案为：

11．如图，在几何体中，，，，侧棱，，均垂直于底面，，，，求该几何体的体积.

【答案】

【解析】由题意可知为直角三角形，且为直角，

如图，取，连接，，，

因为，，，

所以三棱柱的体积为，

因为，，，，

所以，，，，

所以四棱锥的体积为，

所以所求几何体的体积为.

素养达成

12．已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20和30的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且侧面面积等于上下底面面积之和，求棱台的高和体积.

【答案】；.

【解析】如图所示，

在三棱台中，

，分别为上、下底面的中心，

，分别是，的中点，

连接，，，，

则点，分别在，上，

是等腰梯形的高，记为，

所以，

上、下底面面积之和为，

由，得，所以，

又，，

记棱台的高为，

则，

由棱台的体积公式，

得棱台体积，

计算得棱台体积.