数学必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系达标测试

8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系

（用时45分钟）

【选题明细表】

基础巩固

1.一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线,则它与另一条(　 　)

A.相交      B.异面      C.相交或异面  D.平行

【答案】C

【解析】一条直线与两条平行线中的一条异面,则它与另一条可能相交,也可能异面.故选C.

2.已知异面直线a,b分别在平面α,β内,且α∩β=c,那么直线c一定(　 　)

A.与a,b都相交

B.只能与a,b中的一条相交

C.至少与a,b中的一条相交

D.与a,b都平行

【答案】C

【解析】如图,a′与b异面,但a′∥c,故A错;a与b异面,且都与c相交,故B错;若a∥c,b∥c,则a∥b,与a,b异面矛盾,故D错.

3.下列命题中正确的个数是(　 　)

①若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α　②若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线平行　③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行　④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点

A.0  B.1 C.2  D.3

【答案】B

【解析】对于①,当直线l与α相交时,直线l上有无数个点不在平面α内,故①不正确;对于②,直线l与平面α平行时,l与平面α内的直线平行或异面,故②不正确:对于③,当两条平行直线中的一条与一个平面平行时,另一条与这个平面可能平行,也有可能在这个平面内,故③不正确;对于④,由线面平行的定义可知④正确.

4.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线(　 　)

A.不存在

B.有1条

C.有2条

D.有无数条

【答案】D

【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故选D.

5.已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l(　 　)

A.相交 B.平行

C.垂直 D.异面

【答案】C

【解析】当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l⊂平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.

6.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是　　  　　　　　　　　. 

【答案】b与α平行或相交或b在α内

【解析】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设平面ABCD为α,A1B1为a,则a∥α,当分别取EF,BC1,BC为b时,均满足a与b异面,于是b∥α,b∩α=B,b⊂α(其中E,F为棱的中点).

7.如图的直观图,用符号语言表述为(1)　                   , 

(2)　　　　　　           　　. 

【答案】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A;(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M

【解析】(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M

8.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问

(1)AM和CN是否是异面直线?

(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.

【答案】(1) 不是异面直线;(2)是异面直线,证明见解析.

【解析】由于M,N分别是A1B1和B1C1的中点,可证明MN∥AC,因此AM与CN不是异面直线.

由空间图形可感知D1B和CC1为异面直线的可能性较大,判断的方法可用反证法.

(1)不是异面直线.理由:

因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,

所以MN∥A1C1.

又因为A1AC1C,

所以A1ACC1为平行四边形.

所以A1C1∥AC,得到MN∥AC,

所以A,M,N,C在同一个平面内,

故AM和CN不是异面直线.

(2)是异面直线,证明如下:

假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1D内,则

B∈平面CC1D1D,C∈平面CC1D1D.

所以BC⊂平面CC1D1D,

这与ABCDA1B1C1D1是正方体相矛盾.

所以假设不成立,

故D1B与CC1是异面直线.

能力提升

9.若平面α∥β,直线a⊂α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(　 　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条直线与a平行

C.存在无数条直线与a平行

D.存在唯一一条与a平行的直线

【答案】D

【解析】因为α∥β,B∈β,所以B∉α.

因为a⊂α,所以B,a可确定平面γ且γ∩α=a,

设γ与β交过点B的直线为b,则a∥b.

因为a,B在同一平面γ内.

所以b唯一,即存在唯一一条与a平行的直线.

10.已知下列说法:

①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;

②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;

③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;

④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;

⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.

其中正确的序号是　　　　.(将你认为正确的序号都填上) 

【答案】③④

【解析】①错.a与b也可能异面.

②错.a与b也可能平行.

③对.因为α∥β,

所以α与β无公共点.

又因为a⊂α,b⊂β,

所以a与b无公共点.

④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面.

⑤错.a与β也可能平行.

11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.

【答案】a,b无公共点, a∥β,证明见解析.

【解析】a∥b,a∥β,理由:

由α∩γ=a知a⊂α且a⊂γ,

由β∩γ=b知b⊂β且b⊂γ,

因为α∥β,a⊂α,b⊂β,

所以a,b无公共点.

又因为a⊂γ,且b⊂γ,所以a∥b.

因为α∥β,所以α与β无公共点,

又a⊂α,所以a与β无公共点,所以a∥β.

素养达成

12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A∉l,B∉l,C∉l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.

【答案】平面ABC与β的交线与l相交,证明见解析.

【解析】平面ABC与β的交线与l相交.

证明:因为AB与l不平行,且AB⊂α,l⊂α,

所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l.

又因为AB⊂平面ABC,l⊂β,所以P∈平面ABC,P∈β.

所以点P是平面ABC与β的一个公共点,

而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.

即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P,

所以平面ABC与β的交线与l相交.