高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直第1课时课后作业题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．直线l⊥平面α，直线m⊂α，则l与m不可能(　　)

A．平行  B．相交  C．异面  D．垂直

答案　A

解析　∵直线l⊥平面α，∴l与α相交，又m⊂α，∴l与m相交或异面，由直线与平面垂直的定义，可知l⊥m.故l与m不可能平行．

2．直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α的关系是(　　)

A．l和平面α相互平行   B．l和平面α相互垂直

C．l在平面α内   D．不能确定

答案　D

解析　直线l和平面α相互平行，或直线l和平面α相互垂直，或直线l在平面α内，或直线l与平面α相交，都有可能．

3．将图1中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC上的中线折起得到空间四面体ABCD(如图2)，则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是(　　)

A．相交且垂直  B．相交但不垂直

C．异面且垂直  D．异面但不垂直

答案　C

解析　在题图1中，AD⊥BC，故在题图2中，AD⊥BD，AD⊥DC，又因为BD∩DC＝D，所以AD⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，D不在BC上，所以AD⊥BC，且AD与BC异面，故选C.

4．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是(　　)

A.  B．2  C．3  D．4

答案　D

解析　如图所示，作PD⊥BC于D，连接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥CB.又PA∩PD＝P，PA⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.又AC＝AB，∴D为BC中点．在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4.

5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是(　　)

A．线段B1C

B．线段BC1

C．BB1中点与CC1中点连成的线段

D．BC中点与B1C1中点连成的线段

答案　A

解析　如图所示，易知BD1⊥平面AB1C，故当点P在平面AB1C内时，总保持AP⊥BD1，又点P在侧面BCC1B1内，且B1C为平面AB1C和平面BCC1B1的交线，故点P一定位于线段B1C上．

二、填空题

6．在四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点，若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.则EF的长度为________．

答案　或

解析　如图①，取BC的中点O，连接OE，OF，

∵OE∥AC，OF∥BD，

∴OE与OF所成的角即为AC与BD所成的角．

而AC，BD所成的角为60°，

∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.

当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝.

当∠EOF＝120°时，如图②，取EF的中点M，连接OM，

则OM⊥EF，

EF＝2EM＝2×＝.

7．如图所示，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的正投影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案　①②③

解析　∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又AC⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.∵AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC，∴AF⊥PB.又AE⊥PB，AE∩AF＝A，∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，故①②③正确．

8. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．

①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．

答案　4

解析　对于①，∵AC⊥BD，且SD⊥平面ABCD，

∴SD⊥AC，又SD∩BD＝D，

∴AC⊥平面SBD，∴AC⊥SB，①正确；

对于②，∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，

∴AB∥平面SCD，②正确；

对于③，∵SD⊥平面ABCD，∴AD是SA在平面ABCD内的射影，∴∠SAD是SA与平面ABCD所成的角，③正确；

对于④，∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，④正确，故正确的有4个．

三、解答题

9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，AA1的中点．

(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小；

(2)求直线AB1和EF所成的角的大小．

解　(1)如图，连接DC1.

∵DC1∥AB1.

∴DC1和CC1所成的角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角．

∵∠CC1D＝45°，

∴直线AB1和CC1所成的角为45°.

(2)连接DA1，A1C1.

∵EF∥A1D，AB1∥DC1，

∴∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角．

∵△A1DC1是等边三角形，

∴∠A1DC1＝60°，即直线AB1和EF所成的角为60°.

B级：“四能”提升训练

1．如图，已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有(　　)

A．8对

B．7对

C．6对

D．5对

答案　B

解析　依题意可知，平面PAD，平面PBD，平面PCD都垂直于平面ABCD，平面PAD⊥平面PCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PCD⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBD，共7对．

2．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F分别为CD，PB的中点．

(1)求证：EF⊥平面PAB；

(2)设AB＝BC，求AC与平面AEF所成角的正弦值．

解　(1)证明：连接BE，EP.由题意知∠PDE＝∠BCE＝90°，

因为ED＝CE，PD＝AD＝BC，

所以Rt△PDE≌Rt△BCE，所以PE＝BE.

因为F为PB的中点，所以EF⊥PB.

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AB，因为DA⊥AB，PD∩AD＝D，

所以AB⊥平面PAD，所以PA⊥AB.

在Rt△PAB中，

因为PF＝BF，所以PF＝AF.

又因为PE＝BE＝EA，所以△EFP≌△EFA，

所以EF⊥FA.

因为PB∩AF＝F，所以EF⊥平面PAB.

(2)不妨设BC＝1，则AD＝PD＝1，AB＝，PA＝，AC＝.

所以△PAB为等腰直角三角形，且PB＝2.

因为F是PB的中点，所以BF＝1，AF⊥PB.

因为AF∩EF＝F，所以PB⊥平面AEF.

设BE交AC于点G，过点G作GH∥PB交EF于点H，

则GH⊥平面AEF.故∠GAH为AC与平面AEF所成的角．

由△EGC∽△BGA可知，EG＝GB，AG＝2CG，

所以EG＝EB，AG＝AC＝.

由△EGH∽△EBF，可知GH＝BF＝.

所以sin∠GAH＝＝，

所以AC与平面AEF所成角的正弦值为.