高中数学8.3 简单几何体的表面积与体积第1课时习题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于(　　)

A．π  B．2π  C．4π  D．8π

答案　B

解析　由于侧面积为4π，∴2πrh＝4π，且h＝2r，∴r＝＝1，∴V＝πr2h＝2π.

2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设圆柱的底面半径为r，则其底面的周长为2πr，高为h＝2πr，且S侧＝4π2r2，S表＝4π2r2＋2πr2，∴＝＝.

3．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的表面积是(　　)

A．3π  B．3π  C．6π  D．9π

答案　A

解析　根据轴截面面积是，可得圆锥的母线长为2，底面半径为1，所以S＝πr2＋πrl＝π＋2π＝3π.

4．已知某几何体的直观图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.   B．3π

C.   D．6π

答案　B

解析　由题图可知，此几何体为从底面半径为1，高为4的圆柱的母线的中点处截去了圆柱的后剩余的部分，所以V剩＝×π×12×4＝3π.

5．若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为l的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是(　　)

A．3∶2  B．2∶1  C．4∶3  D．5∶3

答案　C

解析　设圆锥的底面半径为r，则有l＝2πr，∴l＝3r，∴＝＝＝.

二、填空题

6．若圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，则圆锥的体积是________．

答案　

解析　易知圆锥的母线长l＝2，设圆锥的底面半径为r，

则2πr＝×2π×2，∴r＝1，∴圆锥的高h＝＝，则圆锥的体积V＝πr2h＝.

7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．

答案　38

解析　由几何体的三视图可知，该几何体是长为4，宽为3，高为1的长方体内部挖去一个底面半径为1，高为1的圆柱后剩下的部分．

∴S表＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π×1×1－2π×12＝38.

8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小的底面半径为________．

答案　7

解析　设圆台较小的底面半径为r，因为圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，所以圆台较大的底面半径为3r，母线长l＝3，圆台的侧面积为84π，所以S侧面积＝π(r＋3r)l＝84π，解得r＝7.

三、解答题

9. 如图，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体ABCD－A1B1C1D1，设矩形ABCD的面积为S，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V，AB＝x.

(1)将S表示为x的函数；

(2)求V的最大值．

解　(1)连接AC，∵矩形ABCD内接于⊙O，

∴AC是⊙O的直径．

∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝，

∵S＝AB·BC＝x(0<x<2)．

(2)∵长方体的高AA1＝1，

∴V＝S·AA1＝x＝

＝，

∵0<x<2，∴0<x2<4，

当x2＝2，即x＝时，取得最大值，此时Vmax＝2.

B级：“四能”提升训练

1．若干毫升水倒入底面半径为2 cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6 cm，若将这些水全部倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是(　　)

A．6 cm   B．6 cm

C．2 cm   D．3 cm

答案　B

解析　水的体积V＝π×22×6＝24π(cm3)．设圆锥中水的底面半径为r，则水的高度为r，∴πr2·r＝24π，∴r3＝24.

∴(r)3＝216，∴r＝6，即圆锥中水面的高度为6 cm.

2．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．

(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；

(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；

(3)哪个方案更经济些？

解　(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，

则仓库的体积

V1＝Sh＝×π×2×4＝ m3.

如果按方案二，仓库的高变成8 m，

则仓库的体积

V2＝Sh＝×π×2×8＝96π m3.

(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m.

棱锥的母线长l＝＝4，

则仓库的表面积S1＝π×8×4＝32π m2.

如果按方案二，仓库的高变成8 m.

棱锥的母线长为l＝＝10，

则仓库的表面积S2＝π×6×10＝60π m2.

(3)∵V2>V1，S2<S1，

∴方案二比方案一更经济．