人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体随堂练习题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．与原数据单位不一样的是(　　)

A．众数    B．平均数 

C．标准差    D．方差

答案　D

解析　由方差的意义可知，方差与原数据单位不一样．

2．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田，这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是(　　)

A．x1，x2，…，xn的平均数    B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值    D．x1，x2，…，xn的中位数

答案　B

解析　平均数和中位数反映一组数据的集中趋势，标准差和方差反映一组数据的稳定程度．故选B.

3．某公司10位员工的月工资(单位：元)分别为x1，x2，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资的平均数和方差分别为(　　)

A.，s2＋1002  B.＋100，s2＋1002

C.，s2   D.＋100，s2

答案　D

解析　解法一：因为每个数据都加上100，所以平均数也增加100，而离散程度保持不变，即方差不变．

解法二：由题意，知x1＋x2＋…＋x10＝10，s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]，则所求平均数＝×[(x1＋100)＋(x2＋100)＋…＋(x10＋100)]＝×(10＋10×100)＝＋100，所求方差为×[(x1＋100－)2＋(x2＋100－)2＋…＋(x10＋100－)2]＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝s2.

4．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)

A.A>B，sA>sB   B.A<B，sA>sB

C.A>B，sA<sB   D.A<B，sA<sB

答案　B

解析　由题图，知A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，

所以A＝＝，

B＝＝.

显然A<B.

又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA>sB.

5．若某同学连续三次考试的名次(第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况)不大于3，则称该同学为该班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是(　　)

A．甲同学：平均数是2，中位数是2

B．乙同学：平均数为2，方差小于1

C．丙同学：中位数是2，众数是2

D．丁同学：众数是2，方差大于1

答案　D

解析　甲同学：平均数为2，说明名次之和为6，中位数是2，得出三次考试名次均不大于3，断定为尖子生．乙同学：平均数为2，说明名次之和为6，方差小于1，得出三次考试名次均不大于3，断定为尖子生．丙同学：中位数为2，众数为2，说明三次考试名次至少有两次为2，名次从小到大排序可能为1,2,2；2,2,2；2,2,3；2,2，x(x>3)，所以丙同学可能是尖子生．丁同学：众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x＝1,2,3时，方差均小于1，故x>3.推断丁一定不是尖子生．故选D.

二、填空题

6．一组数据2，x,4,6,10的平均值是5，则此组数据的标准差是________．

答案　2

解析　∵一组数据2，x,4,6,10的平均值是5，∴2＋x＋4＋6＋10＝5×5，解得x＝3，∴此组数据的方差s2＝×[(2－5)2＋(3－5)2＋(4－5)2＋(6－5)2＋(10－5)2]＝8，∴此组数据的标准差s＝2.

7．下列四个结论，其中正确的有________．

①在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等；

②如果一组数据中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的平均数改变，方差不改变；

③一个样本的方差是s2＝[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x20－3)2]，则这组样本数据的总和等于60；

④数据a1，a2，a3，…，an的方差为δ2，则数据2a1,2a2,2a3，…，2an的方差为4δ2.

答案　①②③④

解析　对于①，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，都等于，∴①正确；

对于②，一组数据中每个数减去同一个非零常数a，这一组数的平均数变为－a，方差s2不改变，∴②正确；

对于③，一个样本的方差是s2＝×[(x1－3)2＋(x2－3)2＋…＋(x20－3)2]，∴这组样本数据有20个数据，平均数是3，∴这组数据的总和为3×20＝60，∴③正确；

对于④，数据a1，a2，a3，…，an的方差为δ2，则数据2a1,2a2,2a3，…，2an的方差为(2δ)2＝4δ2，∴④正确．

综上，正确的是①②③④.

8．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．

答案　0.9　

解析　设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为.

则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]

＝×[x＋x＋…＋x＋402－2(x1＋x2＋…＋x40)]

＝×

＝×＝0.9.

∴s＝＝＝.

三、解答题

9．某校高一(1)、(2)班各有49名学生，两班在一次数学测试中的成绩统计如下表：

(1)请你对下面的一段话给予简要分析：

高一(1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测试中，全班的平均分为79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了”；

(2)请你根据表中的数据分析两班的测试情况，并提出教学建议．

解　(1)由高一(1)班成绩的中位数是87分可知，85分排在25位以后，从位次上讲并不能说85分在班里是上游，但也不能从这次测试上来判断学习的好坏，小刚得了85分，说明他对这阶段的学习内容掌握得较好，从掌握的学习内容上讲也算是上游．

(2)高一(1)班成绩的中位数是87分，说明高于87分的人数占一半左右，而平均分为79分，标准差又很大，说明低分者也多，两极分化严重，建议对学习差的学生给予帮助．

高一(2)班成绩的中位数和平均数都是79分，标准差较小，说明学生成绩之间的差别也较小，学习差的学生较少，但学习优秀的学生也很少，建议采取措施提高优秀学生的人数．

B级：“四能”提升训练

从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：

(1)作出这些数据的频率分布直方图；

(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；

(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？

解　(1)频率分布直方图如图所示：

(2)质量指标值的样本平均数为：

＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100.

质量指标值的样本方差为：

s2＝(80－100)2×0.06＋(90－100)2×0.26＋(100－100)2×0.38＋(110－100)2×0.22＋(120－100)2×0.08＝104.

所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100，方差的估计值为104.

(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．