高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试同步练习题

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1．随机事件在现实世界中是广泛存在的，要注意结合生活实例，分析何为必然事件、不可能事件和随机事件，要充分理解概率的意义，并学会解释生活中的一些常见的概率问题，把自己所学的概率知识应用到实际生活中去．

(1)对随机事件的理解应包括的两个方面

①随机事件是指一定条件下出现的某种结果，即随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件在相同的条件下进行研究；②随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复试验中，随机事件的发生是有规律的．

(2)频率与概率的联系与区别

随机事件的频率，是指事件发生的次数与试验总次数的比值．它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，但随着试验次数的不断增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫作这个事件的概率．概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小．在大量重复试验的前提下，可以用频率来估计这个事件的概率．

(3)要辩证地看待“随机事件”“不可能事件”“必然事件”．一个随机事件的发生，既有随机性(对某次试验来说)，又存在着统计规律性(对大量重复试验来说)，这是偶然性与必然性的对立统一．

(4)对概率的统计定义应注意的几点

①求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验进行估计；②只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫作事件的概率；③概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值；④概率反映了随机事件发生的可能性的大小．

(5)互斥事件与对立事件的区别与联系

互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不能同时发生外，还要求二者必须有一个发生．因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况．

2．应用互斥事件的概率的加法公式时，要注意首先确定诸事件彼此互斥，然后分别求出各事件发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)＝1－P()求解．

3．对于古典概型概率的计算，关键是分清样本点总数n与事件中包含的样本点数m，有时需用列举法把样本点一一列举出来，再利用公式P(A)＝求出事件的概率．这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须做到不重复、不遗漏．

4．利用相互独立事件的定义(即P(AB)＝P(A)P(B))可以判定两个事件是否相互独立，这是用定量方法进行分析的定量计算，可以较为准确、果断地判断两个事件是否相互独立．因此我们必须熟练掌握这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件之间有一定的关系，也就是若两个事件相互独立，则一定不能互斥(对立)；反之，若两个事件互斥(对立)，则不能相互独立．

5．本章用到较多的是化归思想，而化归思想是数学中最基本的思想方法之一，在数学研究和学习中有着广泛的应用，化归的核心是把一个生疏复杂的问题转化为熟悉的问题．

思想培优

事件间的运算

事件间的运算包含互斥事件的概率加法、对立事件的概率加法，要时刻结合Venn图用集合的思想理解．其中不能同时发生的是互斥事件，反映在集合上就是两事件的交集为空．在互斥的基础上必有一个发生的是对立事件，互为对立的两个事件概率之和为1.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的关键．

其中互斥事件的概率加法公式可以推广到有限个事件，即如果事件A1，A2，…，An是两两互斥关系，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

[典例1]　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：

(1)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；

(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．

解　(1)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：

(2)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；

B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．

由(1)，知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，

P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，

因为P(A1)>P(A2)，所以甲应选择路径L1；

P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，

P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，

因为P(B2)>P(B1)，所以乙应选择路径L2.

古典概型

古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概率的基础．在高考题中，经常出现此种概型的题目．用古典概型计算概率时，一定要验证所构造的基本事件是否是等可能的，同时要弄清事件A所包含的等可能出现的结果(基本事件)的个数．

[典例2]　在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．

(1)求摸出的3个球都为白球的概率；

(2)求摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率；

(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱．

解　把3个黄色乒乓球分别标记为A，B，C,3个白色乒乓球分别标记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间Ω＝{ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23,123}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．

(1)设事件E＝{摸出的3个球都为白球}，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P(E)＝＝0.05.

(2)设事件F＝{摸出的3个球为2个黄球1个白球}，则事件F包含的样本点有9个，P(F)＝＝0.45.

(3)设事件G＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球}，则事件G包含的样本点有2个，故P(G)＝＝0.1.

假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主一天可赚90×1－10×5＝40(元)，每月可赚1200元．

(1)解决古典概型的关键问题是分析样本点总数和某事件所包含的样本点数，通常用列举法或树状图表达．

(2)当含有“至多”“至少”“不含”等词语时，从正面突破比较困难时，可以考虑反面，即对立事件．

事件的相互独立性

判断事件是否相互独立的方法有：

(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B)．

(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

[典例3]　某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为0.6,0.4,0.5,0.2.已知各轮问题能否正确回答互不影响．

(1)求该选手被淘汰的概率；

(2)求该选手在选拔中至少回答了2个问题后最终被淘汰的概率．

解　设“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝0.6，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.5，P(A4)＝0.2.

(1)解法一：该选手被淘汰的概率为

P＝P(1∪A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)·P(A3)P(4)＝0.4＋0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.976.

解法二：P＝1－P(A1A2A3A4)＝1－P(A1)P(A2)·P(A3)P(A4)＝1－0.6×0.4×0.5×0.2＝1－0.024＝0.976.

(2)解法一：所求概率P＝P(A12∪A1A23∪A1A2A34)＝P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＋P(A1)P(A2)P(A3)P(4)＝0.6×0.6＋0.6×0.4×0.5＋0.6×0.4×0.5×0.8＝0.576.

解法二：所求概率P＝1－P(1)－P(A1A2A3A4)＝1－(1－0.6)－0.6×0.4×0.5×0.2＝0.576.

频率与概率

依据概率的定义，可以用事件发生的频率去估计概率．

频率的计算公式为fn(A)＝，其中nA是事件A出现的频数，n为重复试验次数．

[典例4]　下表分别表示从甲、乙两厂随机抽取的某批乒乓球的质量检查情况．

甲厂抽取的乒乓球的质量检查情况

乙厂抽取的乒乓球的质量检查情况

(1)分别计算两个表中乒乓球优等品的频率(结果保留到小数点后第三位)；

(2)从甲、乙两厂分别抽取一个乒乓球，质检结果为优等品的概率分别是多少？

(3)若甲、乙两厂的乒乓球价格相同，你打算从哪个厂家购货？

解　(1)表中甲厂优等品的频率依次为0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951；表中乙厂优等品的频率依次为0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.

(2)由(1)可知，抽取的球数不同，计算得到的频率值也不同，因为表中甲厂的频率在常数0.95的附近波动，所以从甲厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.95；因为表中乙厂的频率在常数0.90的附近波动，所以在乙厂抽取一个乒乓球检测时，质检结果为优等品的概率近似为0.90.

(3)因为概率反映了一个事件发生的可能性的大小，P甲>P乙表示甲厂生产优等乒乓球的可能性更大，因此应选购甲厂生产的乒乓球．