高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试同步练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用本章综合与测试同步练习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第六章　单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(＋)＋(＋)＋化简后等于(　　)A．   B．C．   D．答案　C解析　原式＝＋＋＋＋＝.2．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)A．(2,16)   B．(－2，－16)C．(4,16)   D．(2,0)答案　A解析　设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝(1，－4)，所以2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)，所以所以3．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝(　　)A．6   B．5  C．4   D．3答案　C解析　∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.4．设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b的夹角为(　　)A．150°   B．120°  C．60°   D．30°答案　B解析　设向量a，b的夹角为θ，则|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，则cosθ＝－.又θ∈[0°，180°]，所以θ＝120°.5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，a＝，cosA＝，则△ABC的面积S为(　　)A．   B．  C．   D．6答案　A解析　由b2－bc－2c2＝0可得(b＋c)(b－2c)＝0.∴b＝2c，在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA，即6＝4c2＋c2－4c2·.∴c＝2，从而b＝4.∴S△ABC＝bcsinA＝×4×2× ＝.6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为(　　)A．等腰非直角三角形   B．等边三角形C．直角非等腰三角形   D．等腰直角三角形答案　C解析　∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，∴＝－＝(－2，－1)，∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.∴△ABC是直角非等腰三角形．7．在△ABC中，若||＝1，||＝，|＋|＝||，则＝(　　)A．－   B．－  C．   D．答案　B解析　由向量的平行四边形法则，知当|＋|＝||时，∠A＝90°.又||＝1，||＝，故∠B＝60°，∠C＝30°，||＝2，所以＝＝－.8.如图，已知等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝4，AD＝BC＝，E是DC的中点，点P在线段BC上运动(包含端点)，则·的最小值是(　　)A．－   B．0  C．－   D．1答案　A解析　由四边形ABCD是等腰梯形可知cosB＝.设BP＝x(0≤x≤)，则CP＝－x.所以·＝(＋)·＝·＋·＝1·x·＋(－x)·x·(－1)＝x2－x.因为0≤x≤，所以当x＝时，·取得最小值－.故选A．9．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是(　　)A． km   B． kmC． km   D．  km答案　B解析　如图，设行驶15分钟时，甲船到达M处，由题意，知AM＝8×＝2，BN＝12×＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB×BNcos120°＝1＋9－2×1×3×＝13，所以MN＝(km)．10．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：a×b是一个向量，它的模|a×b|＝|a||b|sinθ，若a＝(－，－1)，b＝(1，)，则|a×b|＝(　　)A．   B．2  C．2   D．4答案　B解析　cosθ＝＝＝－，∴sinθ＝，∴|a×b|＝2×2×＝2.11．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cosθ，sinθ)，＝(2＋sinθ，2－cosθ)，则向量长度的最大值是(　　)A．   B．  C．3   D．2答案　C解析　∵＝－＝(2＋sinθ－cosθ，2－cosθ－sinθ)，∴||＝＝≤3.12．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标分别为(a,0)，(0，a)，其中常数a>0，点P在线段AB上，且＝t(0≤t≤1)，则·的最大值为(　　)A．a   B．2a  C．3a   D．a2答案　D解析　＝－＝(0，a)－(a,0)＝(－a，a)，∴＝t＝(－at，at)．又＝＋＝(a,0)＋(－at，at)＝(a－at，at)，∴·＝a(a－at)＋0×at＝a2(1－t)(0≤t≤1)．∴当t＝0时，·取得最大值，为a2.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．设向量a，b满足|a|＝2，b＝(2,1)，且a与b的方向相反，则a的坐标为________．答案　(－4，－2)解析　设a＝(x，y)，x＜0，y＜0，则x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝－4，y＝－2.即a＝(－4，－2)．14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若·＝·＝1，那么c＝________.答案　解析　由题知，·＋·＝2，即·－·＝·(＋)＝2＝2⇒c＝||＝.15．如图，在正方形ABCD中，已知||＝2，若N为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是________．答案　4解析　∵·＝||||·cos∠BAN，||cos∠BAN表示在方向上的投影，又||＝2，∴·的最大值是4.16．若等边三角形ABC的边长为2，平面内一点M满足＝＋，则·＝________.答案　－2解析　以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C三点的坐标分别为(－，0)，(，0)，(0,3)．设M点的坐标为(x，y)，则＝(x，y－3)，＝(，－3)，＝(－，－3)，又＝＋，即(x，y－3)＝，可得M，所以＝，＝，所以·＝－2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC．(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为6，求b.解　(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝＝＝.因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)由(1)得B＝，所以△ABC的面积为acsinB＝ac＝6，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝2.18．(本小题满分12分)如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且BF＝BC．(1)以a，b为基底表示向量与；(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.解　(1)由已知，得＝＋＝a＋b.连接AF，∵＝＋＝a＋b，∴＝＋＝－b＋＝a－b.(2)由已知，得a·b＝|a||b|cos120°＝3×4×＝－6，从而·＝·＝|a|2＋a·b－|b|2＝×32＋×(－6)－×42＝－.19．(本小题满分12分)如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且＝x＋y.(1)若＝，求x，y的值；(2)若＝3，||＝4，||＝2，且与的夹角为60°，求·的值．解　(1)若＝，则＝＋，故x＝y＝.(2)若＝3，则＝＋＝＋(－)＝＋，·＝·(－)＝－2－·＋2＝－×42－×4×2×cos60°＋×22＝－3.20．(本小题满分12分)已知向量m＝，n＝，函数f(x)＝m·n.(1)若f(x)＝1，求cos的值；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足acosC＋c＝b，求f(B)的取值范围．解　由题意，得f(x)＝sincos＋cos2＝sin＋cos＋＝sin＋.(1)由f(x)＝1，得sin＝，则cos＝2cos2－1＝2sin2－1＝－.(2)已知acosC＋c＝b，由余弦定理，得a·＋c＝b，即b2＋c2－a2＝bc，则cosA＝＝，又因为A为三角形的内角，所以A＝，从而B＋C＝，易知0<B<，0<<，则<＋<，所以1<sin＋<，故f(B)的取值范围为.21．(本小题满分12分)在四边形ABCD中，＝(6,1)，＝(x，y)，＝(－2，－3)，∥.(1)求x与y的关系式；(2)若⊥，求x，y的值以及四边形ABCD的面积．解　(1)如右图所示．因为＝＋＋＝(x＋4，y－2)，所以＝－＝(－x－4,2－y)．又因为∥，＝(x，y)，所以x(2－y)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.(2)＝＋＝(x＋6，y＋1)，＝＋＝(x－2，y－3)．因为⊥，所以·＝0，即(x＋6)(x－2)＋(y＋1)(y－3)＝0，所以y2－2y－3＝0，所以y＝3或y＝－1.当y＝3时，x＝－6，于是＝(－6,3)，＝(0,4)，＝(－8,0)．所以||＝4，||＝8，所以S四边形ABCD＝||||＝16.当y＝－1时，x＝2，于是有＝(2，－1)，＝(8,0)，＝(0，－4)．所以||＝8，||＝4，S四边形ABCD＝16.综上可知或S四边形ABCD＝16.22．(本小题满分12分)已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，且a，b满足关系|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．(1)求a与b的数量积用k表示的解析式f(k)；(2)a能否和b垂直？a能否和b平行？若不能，则说明理由；若能，则求出相应的k值；(3)求a与b夹角的最大值．解　(1)由已知|a|＝|b|＝1.∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴(ka＋b)2＝3(a－kb)2，∴k2|a|2＋2ka·b＋|b|2＝3(|a|2－2ka·b＋k2|b|2)，∴8ka·b＝2k2＋2，∴f(k)＝a·b＝(k>0)．(2)∵a·b＝f(k)>0，∴a与b不可能垂直．若a∥b，由a·b>0知a，b同向，于是有a·b＝|a||b|cos0°＝|a||b|＝1，即＝1，解得k＝2±.∴当k＝2±时，a∥b.(3)设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝a·b＝(k>0)，∴cosθ＝＝＝，∴当＝即k＝1时，cosθ取到最小值为.又0°≤θ≤180°，∴a与b夹角θ的最大值为60°.