人教A版 (2019)必修 第二册7.2 复数的四则运算同步测试题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，在复平面内z1－z2对应点的坐标为(5，－7)，位于第四象限．

2．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i  B．8＋2i  C．2＋4i  D．4＋i

答案　C

解析　两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5)，B(－2，3)，则其中点的坐标为C(2,4)，故其对应的复数为2＋4i.

3．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是(　　)

A．2＋4i  B．－2＋4i  C．－4＋2i  D．4－2i

答案　D

解析　在平行四边形ABCD中，＝＝－＝3＋i－(－1＋3i)＝4－2i.

4．设m∈R，复数z＝(2m2＋3i)＋(m－m2i)＋(－1＋2mi)，若z为纯虚数，则m等于(　　)

A．－1  B．3  C.  D．－1或3

答案　C

解析　z＝(2m2＋m－1)＋(－m2＋2m＋3)i为纯虚数，

则解得m＝.

5．设复数z满足|z－3－4i|＝1，则|z|的最大值是(　　)

A．3  B．4  C．5  D．6

答案　D

解析　因为|z－3－4i|＝1，所以复数z所对应点在以(3,4)为圆心，1为半径的圆上，由几何性质得|z|的最大值是 ＋1＝6.

6．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△AOB一定是(　　)

A．等腰三角形  B．直角三角形

C．等边三角形  D．等腰直角三角形

答案　B

解析　根据复数加减法的几何意义知，以复数z1，z2在复平面内对应的向量O，为邻边作平行四边形，∵|z1＋z2|＝|z1－z2|，∴该四边形的对角线相等，∴此平行四边形为矩形，∴△AOB是直角三角形．

二、填空题

7．在复平面上复数－1＋i,0,3＋2i所对应的点分别是A，B，C，则平行四边形ABCD的对角线BD的长为________．

答案　

解析　B对应的复数为－1＋i，B对应的复数为3＋2i，B对应的复数为－1＋i＋3＋2i＝2＋3i，∴BD的长为|2＋3i|＝＝.

8．实数x，y满足z1＝y＋xi，z2＝yi－x，且z1－z2＝2，则xy的值是________．

答案　1

解析　z1－z2＝y＋xi－yi＋x＝(x＋y)＋(x－y)i.

∵z1－z2＝2，∴∴∴xy＝1.

9．设f(z)＝z－3i＋|z|，若z1＝－2＋4i，z2＝5－i，则f(z1＋z2)＝________.

答案　3＋3

解析　因为z1＋z2＝－2＋4i＋5－i＝3＋3i，所以f(z1＋z2)＝(3＋3i)－3i＋|3＋3i|＝3＋＝3＋3.

三、解答题

10．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，求.

解　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝.

又|z|＋z＝1＋3i，

所以＋x＋yi＝1＋3i，

由复数相等得解得

所以z＝－4＋3i.所以＝－4－3i.

B级：“四能”提升训练

1．已知复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数．

解　分三种情况：

①当＝时，zA－zB＝zD－zC，

所以zD＝zA－zB＋zC＝(－5－2i)－(－4＋5i)＋2＝1－7i.

即点D对应的复数为1－7i.

②当＝时，zA－zB＝zC－zD，

所以zD＝zC－zA＋zB＝2－(－5－2i)＋(－4＋5i)＝3＋7i.

③当＝时，zC－zA＝zB－zD，

所以zD＝zB－zC＋zA＝(－4＋5i)－2＋(－5－2i)＝－11＋3i.

故点D对应的复数为1－7i或3＋7i或－11＋3i.

2．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．

解　∵z1＝1＋2ai，z2＝a－i，|z－z1|<，

即|z－(1＋2ai)|<，|z－z2|≤2，

即|z－(a－i)|≤2，

由复数减法及模的几何意义知，集合A是以(1,2a)为圆心，为半径的圆的内部的点对应的复数，集合B是以(a，－1)为圆心，2为半径的圆周及其内部的点所对应的复数，若A∩B＝∅，则两圆圆心距大于或等于半径和，即≥3，解得a≤－2或a≥.