数学必修 第二册6.4 平面向量的应用第3课时练习题

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10 m，吊杆AC＝15 m，吊索AB＝5 m，起吊的货物与岸的距离AD为(　　)

A．30 m   B． m

C．15 m   D．45 m

答案　B

解析　在△ABC中，AC＝15 m，AB＝5 m，BC＝10 m，由余弦定理，得cos∠ACB＝＝＝－，∴sin∠ACB＝.又∠ACB＋∠ACD＝180°，

∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.在Rt△ADC中，

AD＝ACsin∠ACD＝15×＝ (m)．故选B．

2．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(　　)

A．10 km   B． km 

C．10 km    D．10 km

答案　D

解析　在△ABC中，AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×＝700，

∴AC＝10，即A，C两地的距离为10 km.

3．某公司要测量一水塔CD的高度，测量人员在该水塔所在的东西方向水平线上选A，B两个观测点，在A处测得该水塔顶端D的仰角为α，在B处测得该水塔顶端D的仰角为β，已知AB＝a,0<β<α<，则水塔CD的高度为(　　)

A．   B．

C．   D．

答案　B

解析　如图，在△ABD中，

∠ADB＝α－β，由正弦定理，得＝，

即AD＝，

在Rt△ACD中，

CD＝ADsinα＝.

4．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10 km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(　　)

A． min   B． h

C．21.5 min   D．2.15 h

答案　A

解析　当时间t<2.5 h时，如图．

 ∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.

在△BCD中，利用余弦定理，得

CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.

当t＝＝(h)，即 min时，CD2最小，即CD最小为 .

当t＝2.5 h时，CF＝15×，CF2＝，

当t>2.5 h时，甲、乙两船之间的距离总大于.

故距离最近时，t<2.5 h，即t＝ min.

二、填空题

5．一船以24 km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是________ km(精确到0.1 km)．

答案　5.2

解析　作出示意图如图．

由题意，知AB＝24×＝6，∠ASB＝35°，

由正弦定理，得＝，解得BS≈5.2(km)．

6．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10 m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.

答案　30°

解析　如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10，

∵∠DBC＝30°，∴BC＝10.

由余弦定理，得

cos∠ACB＝＝，

∴∠ACB＝30°.

7．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30 m至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，则θ等于________．

答案　15°

解析　如图，由题意知CA＝BC＝30，DA＝CD＝10，

设AE＝h，则

所以30sin2θ＝10sin4θ＝20sin2θcos2θ，

所以2cos2θ＝，cos2θ＝，所以2θ＝30°，θ＝15°.

三、解答题

8．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，为测出A，B的距离，其方法为测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB．

若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A，B两点间的距离．

解　∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝.

在△BCD中，∠DBC＝45°，由正弦定理，得

BC＝·sin∠BDC＝·sin30°＝.

在△ABC中，由余弦定理，得

AB2＝AC2＋BC2－2AC×BCcos45°

＝＋－2×××＝.

∴AB＝(km)．

∴A，B两点间的距离为 km.

9．一艘船以32.2 n mile/h的速度向正北航行．在A处看灯塔S在船的北偏东20°的方向，30 min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65°的方向，已知距离此灯塔6.5 n mile以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？

解　在△ASB中，∠SBA＝115°，∠S＝45°.

由正弦定理，得

SB＝＝≈7.787(n mile)．

设点S到直线AB的距离为h，

则h＝SBsin65°≈7.06(n mile)．

∵h>6.5 n mile，∴此船可以继续沿正北方向航行．

B级：“四能”提升训练

1．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止航行待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90 n mile.此时海盗船距观测站10 n mile,20 min后测得海盗船距观测站20 n mlie，再过________min，海盗船到达商船．

答案　

解析　如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A，B，C处，20 min后，海盗船到达D处，

在△ADC中，AC＝10，AD＝20，CD＝30，

由余弦定理，得

cos∠ADC＝＝＝.

∴∠ADC＝60°.

在△ABD中，由已知得∠ABD＝30°，

∴∠BAD＝60°－30°＝30°，

∴BD＝AD＝20，×60＝(min)．

2．据气象台预报，在S岛正东距S岛300 km的A处有一台风中心形成，并以每小时30 km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270 km以内的地区将受到台风的影响．

问：S岛是否受其影响？若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响？持续时间多久？说明理由．

解　如图，设台风中心经过t h到达B点，

由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°，

在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，

∠SAB＝60°，

由余弦定理，得

SB2＝SA2＋AB2－2SA×ABcos∠SAB

＝3002＋(30t)2－2×300×30tcos60°.

若S岛受到台风影响，则应满足条件|SB|≤270，即SB2≤2702，

化简整理，得t2－10t＋19≤0，解得5－≤t≤5＋.

所以从现在起，经过(5－) h，S岛开始受到影响，(5＋) h后影响结束，持续时间：(5＋)－(5－)＝2(h)．