2021学年7.3* 复数的三角表示课时练习

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．复数sin40°－icos40°的辐角主值是(　　)

A．40°   B．140°

C．220°   D．310°

答案　D

解析　∵sin40°＝cos310°，－cos40°＝sin310°，∴sin40°－icos40°＝cos310°＋isin310°.故复数的辐角主值为310°.选D.

2.(1＋i)的值是(　　)

A．－i   B.i

C．2i   D．－2i

答案　B

解析　解法一：原式＝(1＋i)＝(1＋i)2＝×(2i)＝i.

解法二：原式＝·

＝＝i.故选B.

3．计算的辐角主值为(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　C

解析　解法一：原式＝＝－i＝cos＋isin.故选C.

解法二：原式＝＝cos(－30°)＋isin(－30°)＝cos330°＋isin330°，因为330°＝.故选C.

4．计算－5的结果为(　　)

A．－1   B．1

C．2   D.

答案　A

解析　原式＝＝＝－1.选A.

5．复数z＝－3(i是虚数单位)的三角形式是(　　)

A．3

B．3

C．3

D．3

答案　C

解析　z＝3＝3.故选C.

6．计算(1＋i)2020＝(　　)

A．22019＋22019i   B．－22019＋22019i

C．22019－22019i   D．－22019－22019i

答案　D

解析　原式＝2020＝22020＝22020＝22020＝－22019－22019i.选D.

二、填空题

7．若复数z＝(a＋i)2的辐角是，则实数a的值是________．

答案　－1

解析　z＝a2－1＋2ai，辐角为，则a2－1＝0且2a<0，故可得a＝－1满足题意．

8．在复平面内，点A对应的复数为1，点B对应的复数为3＋i，将向量A绕A按逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，得向量A，则C点对应的复数为________．

答案　－1＋4i

解析　对应的复数为3＋i－1＝2＋i，逆时针旋转90°，并将模扩大到原来的2倍，即可得A对应的复数为(2＋i)×2(cos90°＋isin90°)＝(2＋i)×2i＝－2＋4i.设C点对应的复数为z，则z－1＝－2＋4i，故z＝－1＋4i.

9．8(cos240°＋isin240°)×[2(cos150°－isin150°)]＝________.

答案　16i

解析　原式＝16(cos240°＋isin240°)×(cos210°＋isin210°)

＝16(cos90°＋isin90°)＝16i.

三、解答题

10．已知复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角形式是r(cosθ＋isinθ)，试写出下列各复数的三角形式．

(1)z1＝－a＋bi；(2)z2＝－a－bi；(3)z3＝a－bi.

解　(1)z1＝r(－cosθ＋isinθ)＝r[cos(π－θ)＋isin(π－θ)]．

(2)z2＝r(－cosθ－isinθ)＝r[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．

(3)z3＝r(cosθ－isinθ)＝r[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]．

B级：“四能”提升训练

1．已知|z|＝1，z5＋z＝1，求复数z.

解　由|z|＝1，可设z＝cosθ＋isinθ且0≤θ<2π.

代入方程z5＋z＝1，得(cosθ＋isinθ)5＋(cosθ＋isinθ)＝1，

即(cos5θ＋cosθ－1)＋(sin5θ＋sinθ)i＝0，

所以即

两式平方后，相加得(1－cosθ)2＋(－sinθ)2＝1.

解得cosθ＝，从而sinθ＝±.

经验证知，z＝±i都是原方程的解．

故z＝＋i或z＝－i.

2．设z＝r(cosθ＋isinθ)，求证＝(m∈N*)．

证明　＝＝·

＝·＝(cosmθ－isinmθ)．

得证．