高中第七章 复数7.2 复数的四则运算课时练习

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．若复数z满足zi＝1＋i，则z的共轭复数是(　　)

A．－1－i  B．1＋i

C．－1＋i  D．1－i

答案　B

解析　解法一：设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝(a＋bi)i＝－b＋ai＝1＋i，得a＝1，b＝－1，则z＝1－i，所以＝1＋i.解法二：复数z＝＝(1＋i)(－i)＝1－i，则z的共轭复数＝1＋i.

2．已知复数z满足z(1＋i)＝－i，则|z|＝(　　)

A.  B.  C．1  D.

答案　B

解析　因为z＝＝＝，所以|z|＝.

3．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z1＝3＋2i，则z1z2＝(　　)

A．12＋13i   B．13＋12i

C．－13i   D．13i

答案　D

解析　因为复数z1＝3＋2i在复平面内对应的点关于直线y＝x对称的点表示的复数z2＝2＋3i，所以z1z2＝(3＋2i)(2＋3i)＝13i.故选D.

4．在复平面内，复数z＝＋i3对应的点位于(　　)

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

答案　D

解析　复数z＝＋i3＝－i＝－i＝－i，其在复平面上对应的点位于第四象限．

5．已知＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝(　　)

A．3  B．2  C．5  D.

答案　D

解析　a＝(1－bi)(1＋i)＝1＋b＋(1－b)i，由复数相等可知∴∴|a－bi|＝＝.

6．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，若z1＝1－2i，则的虚部为(　　)

A.  B．－  C.  D．－

答案　D

解析　因为z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝1－2i，所以z2＝－1－2i，＝＝＝＝－i，所以其虚部为－.

二、填空题

7．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai的模是________．

答案　

解析　因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0且2a≠0，所以a2＝1，复数1＋ai的模为＝.

8．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝4＋2i的复数z＝________.

答案　3－i

解析　∵＝4＋2i，∴zi＋z＝4＋2i，即z(1＋i)＝4＋2i，∴z＝＝3－i.

9．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z＝________.

答案　

解析　z＝＝＝－＋，

所以z＝＝.

三、解答题

10．在复数范围内解下列方程：

(1)9x2＋64＝0；(2)x2＋5x＋7＝0.

解　(1)移项，得9x2＝－64，

二次项系数化为1，得x2＝－，

因为2＝2＝－，

所以原方程的根为x＝±i.

(2)因为a＝1，b＝5，c＝7，

Δ＝b2－4ac＝52－4×1×7＝－3<0，

所以应用求根公式得原方程的根为

x＝＝＝.

B级：“四能”提升训练

1．设z＝＋i(i是虚数单位)，求z＋2z2＋3z3＋4z4＋5z5＋6z6.

解　z2＝－＋i，z3＝－1，z4＝－－i，z5＝－i，z6＝1，

所以原式＝＋(－1＋i)＋(－3)＋(－2－2i)＋＋6＝3－3i.

2．已知复数z满足|z|＝，z2的虚部为2.

(1)求复数z；

(2)设z，z2，z－z2在复平面内对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

解　(1)设z＝a＋bi(a，b∈R)，

由已知条件，得a2＋b2＝2，z2＝a2－b2＋2abi，

所以2ab＝2.所以a＝b＝1或a＝b＝－1，

即z＝1＋i或z＝－1－i.

(2)当z＝1＋i时，z2＝(1＋i)2＝2i，z－z2＝1－i，所以点A(1,1)，B(0,2)，C(1，－1)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1.

当z＝－1－i时，z2＝(－1－i)2＝2i，z－z2＝－1－3i.

所以点A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝|AC|×1＝×2×1＝1，即△ABC的面积为1.