高中人教A版 (2019)7.1 复数的概念精练

A级：“四基”巩固训练

一、选择题

1．给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

答案　B

解析　复数的平方不一定大于0，故①错；2i－1的虚部为2，故②错；2i的实部是0，③正确．

2．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则(　　)

A．C＝R∪I   B．R∪I＝{0}

C．R＝C∩I   D．R∩I＝∅

答案　D

解析　由Venn图可得答案．

3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为(　　)

A．x＝1，y＝－1   B．x＝0，y＝－1

C．x＝1，y＝0   D．x＝0，y＝0

答案　A

解析　因为(x＋y)i＝x－1，所以所以x＝1，y＝－1.

4．下列命题：

①不全为实数的两个复数不能比较大小；

②若z＝a＋bi(a，b∈R)，则当且仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；

③x＋yi＝1＋i⇔x＝y＝1.

其中正确命题的个数为(　　)

A．0   B．1 

C．2   D．3

答案　C

解析　严格按照复数的有关概念和性质进行判断，可知①②正确．

5．若复数z1＝sin2θ＋icosθ，z2＝cosθ＋isinθ，z1＝z2，则θ等于(　　)

A．kπ(k∈Z)   B．2kπ＋(k∈Z)

C．2kπ±(k∈Z)   D．2kπ＋(k∈Z)

答案　D

解析　由复数相等的定义，可知∴cosθ＝，sinθ＝.∴θ＝＋2kπ，k∈Z.故选D．

6．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)

A．－1或3   B．{a|a>3或a<－1}

C．{a|a>－3或a<1}   D．{a|a>3或a＝－1}

答案　B

解析　∵复数z的实部大于虚部，∴a2>2a＋3，解得a>3或a<－1.故选B．

二、填空题

7．设i为虚数单位，若复数z＝(m2＋2m－3)＋(m－1)i是纯虚数，则实数m＝________.

答案　－3

解析　依题意有解得m＝－3.

8．已知(m2＋7m＋10)＋(m2－5m－14)i＝0，则实数m＝________.

答案　－2

解析　∵m∈R，∴解得m＝－2.

9．下列命题：

①若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，则z1＝z2＝z3；

②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；

③两个虚数不能比较大小．

其中正确命题的序号是________．

答案　③

解析　当z1＝1，z2＝0，z3＝i时满足条件，而结论不成立，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错误；两个虚数不能比较大小，故③正确．

三、解答题

10．已知关于x的方程(x2＋kx＋2)＋(2x＋k)i＝0有实根x0，求x0以及实数k的值．

解　因为x＝x0是方程的实根，代入方程得

(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.

由复数相等，得

解得或

所以方程的实根为x0＝或x0＝－，

相应的k值为－2或2.

B级：“四能”提升训练

1．已知复数z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i，则当实数m为何值时，复数z.

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．

解　z＝(m2＋3m＋2)＋(m2－m－6)i.

(1)令m2－m－6＝0，解得m＝3或m＝－2，

即m＝3或m＝－2时，z为实数．

(2)令m2－m－6≠0，解得m≠－2且m≠3，

所以m≠－2且m≠3时，z是虚数．

(3)由解得m＝－1，所以m＝－1时，z是纯虚数．

2．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b.

解　依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，①

或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，②

或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③

由①得a＝－3，b＝±2，

由②得a＝±3，b＝－2.

③中，a，b无整数解不符合题意．

综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2.