高中数学苏教版 (2019)必修 第一册5.4 函数的奇偶性学案设计

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1.理解函数奇偶性的定义.
2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
3.会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
1.教学重点：掌握函数奇偶性的判断和证明方法.
2.教学难点：会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题．
1.如图是定义在闭区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象，则y＝f(x)的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的序号是________．
(1)y＝－eq \f(1,x)；(2)y＝2x－1；(3)y＝－x2；(4)y＝(2x－1)2.
3．函数y＝2x2＋x－1的单调递增区间为________．
4．若f(x)＝(2k＋1)x＋b在(－∞，＋∞)上是单调减函数，则k的取值范围是________．
预习课本P41～43，思考并完成以下问题
题型一 函数奇偶性的判断
[典例] 判断下列函数的奇偶性．
(1)f(x)＝2x＋eq \f(1,x)； (2)f(x)＝2－|x|；
(3)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (4)f(x)＝eq \f(x,x－1).
题型二 奇(偶)函数的图象性质
[典例] (1)定义在[－4,4]上的偶函数y＝f(x)在[－4,0]上的图象如图．作出y＝f(x)的图象并比较f(1)和f(3)的大小；
(2)已知奇函数f(x)定义域为[－5,5]且在[0,5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
题型三 函数奇偶性的应用
题点一：根据函数的奇偶性求参数
1．已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
题点二：利用函数奇偶性求函数解析式
2．已知函数y＝f(x)的图象关于原点对称，且当x>0时，f(x)＝x2－2x＋3.则f(x)在R上的表达式为________．
题点三：函数奇偶性和单调性的综合应用
3．设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
1．下列图象表示的函数具有奇偶性的是( )
2．函数f(x)＝x(－1A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既是奇函数又是偶函数
3．已知函数y＝f(x)＋x是偶函数，且f(2)＝1，则f(－2)＝________.
4．若函数f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)为偶函数，则m的值是________．
5．判断函数f(x)＝x＋eq \f(a,x)(a为常数)的奇偶性，并证明你的结论．
参考答案
1. 答案 B
2. 答案 C
3. 答案 5
解析 函数y＝f(x)＋x是偶函数，
∴x＝±2时函数值相等．
∴f(－2)－2＝f(2)＋2，∴f(－2)＝5.
4. 答案 2
解析 ∵f(x)为偶函数，
∴对于任意x∈R，有f(－x)＝f(x)，
即(m－1)(－x)2＋(m－2)(－x)＋(m2－7m＋12)
＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)，
∴2(m－2)x＝0对任意实数x均成立，∴m＝2.
5．解 f(x)为奇函数，证明如下：
f(x)的定义域为{x|x≠0}．
对于任意x≠0，f(－x)＝－x＋eq \f(a,－x)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(a,x)))＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
奇函数
偶函数
定义
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A
如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是奇函数
如果对任意的x∈A，都有 ，那么称函数y＝f(x)是偶函数
图象特点
图象关于 对称
图象关于 对称