数学必修 第一册1.1 集合的概念与表示教案

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本节内容选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一册第一章第一节的内容。集合是语境的要素．集合语言是近现代数学的基础，利用它可以简洁、准确地表述数学．因此，“集合”内容就成为高中数学学习的起始内容，也是整个高中数学、大学数学乃至现代数学内容表述的基本语境．学习“集合”这一章，需从观念上把握六个字: 语言，工具，渐进．要求学习者认识到集合语言是数学语言的基本构成，并能运用集合语言来简洁地描述问题．
1.教学重点：集合的基本概念，集合中元素的三个特性，元素与集合的关系，集合的表示方法．
2.教学难点：元素与集合的关系，集合中元素的三个特性的应用．
学案的印制分发、多媒体课件调试。
蓝蓝的天空，一群鸟在欢快地飞翔;
茫茫的草原，一群羊在悠闲地走动;
清清的湖水，一群鱼在自由地游戏
鸟群、羊群、鱼群…都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本章将要学习的集合.
阅读课本P5～6，完成以下问题
1．元素与集合
(1)集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合．通常用大写拉丁字母来表示集合．
(2)元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元．通常用小写的拉丁字母来表示．
(3)元素与集合间的关系：
①若a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”．
②若a不是集合A的元素，就记作a∉A或a∈A，读作“a不属于A”．
(4)集合中元素的特征：确定性、无序性、互异性．
(5)常见数集
(6)集合相等的概念
如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等．
2．集合的表示法
(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{ }”内，元素之间用逗号分隔，这样表示集合的方法称为列举法．
(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，这样表示集合的方法称为描述法．
[教师点拨]
(1)使用列举法表示集合应注意以下问题：
①元素之间用“，”隔开；②元素不能重复；③元素没有顺序．
(2)使用描述法表示集合应注意以下问题：
①写清楚该集合中元素的代号(用字母表示的元素符号)；
②说明该集合中元素的性质；
3．集合的分类
按照集合中元素的多少，集合可以分为有限集和无限集．
(1)含有有限个元素的集合叫作有限集；
(2)含有无限个元素的集合叫作无限集．
(3)不含任何元素的集合叫作空集，记作∅.
[教师点拨]
{0}和∅不是同一个集合，{0}中含有一个元素0，而∅中没有任何元素．
4．微课辅助
典例剖析
题型一 集合的概念
[典例] 下列每组对象能构成一个集合是________(填序号)．
(1)某校2019年在校的所有高个子同学；
(2)不超过20的非负数；
(3)帅哥；
(4)平面直角坐标系内第一象限的一些点；
(5)eq \r(3)的近似值的全体．
[解析] “高个子”没有明确的标准，因此(1)不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“帅哥”没有一个明确的标准，因此不能构成集合；(4)“一些点”无明确的标准，因此不能构成集合；(5)“eq \r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，所以(5)不能构成集合．
[答案] (2)
点评：判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，即确定性。同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．
题型二 元素与集合的关系
[典例] 给出下列关系：
①eq \f(1,2)∈R；②eq \r(2)∉Q；③|－3|∉N；④|－eq \r(3)|∈Q；⑤0∉N，
其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 eq \f(1,2)是实数，①对；eq \r(2)不是有理数，②对；
|－3|＝3是自然数，③错；|－eq \r(3)|＝eq \r(3)是无理数，④错；
0是自然数，⑤错．故选B.
答案 B
点评： 要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．
[变式训练] 集合A中的元素x满足eq \f(6,3－x)∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．
解析 ∵x∈N，eq \f(6,3－x)∈N，∴0≤x≤2且x∈N.
当x＝0时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3)＝2∈N；
当x＝1时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－1)＝3∈N；
当x＝2时，eq \f(6,3－x)＝eq \f(6,3－2)＝6∈N.
∴A中元素为0,1,2.
答案 0,1,2
题型三 集合的表示方法
[典例] 用适当的方法表示下列集合：
(1)方程x(x2＋2x＋1)＝0的解集；
(2)在自然数集内，小于1 000的奇数构成的集合；
(3)不等式x－2＞6的解的集合；
(4)大于0.5且不大于6的自然数的全体构成的集合；
[解] (1)∵方程x(x2＋2x＋1)＝0的解为0和－1，
∴x(x2＋2x＋1)＝0的解集为{－1,0}；
(2){x|x＝2n＋1，且x＜1 000，n∈N}；
(3){x|x＞8}；
(4){1,2,3,4,5,6}；
点评：(1)一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．
(2)方程(或方程组)的解的个数较少，因此方程(或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式(或不等式组)的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合”时，一定要将最终结果写成集合的形式．
[变式训练]
1．下列集合中，不同于另外三个集合的序号是________．
①{x|x＝1}；②{y|(y－1)2＝0}；③{x＝1}；④{1}．
解析：由集合的含义知{x|x＝1}＝{y|(y－1)2＝0}＝{1}，而集合{x＝1}表示由方程x＝1组成的集合，故填③.
答案：③
2．下面六种表示方法
①{x＝－1，y＝2}；②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，y\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝2.))))))；③{－1,2}；
④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{x，y|x＝－1，或y＝2}．
其中，能正确表示方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝0，,x－y＋3＝0))的解集的是____________(把所有正确答案的序号填上)．
解析：①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素，是一个点，故①不正确；②代表元素是点的形式，且对应值与方程组解相同，故②正确；③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素，故③不正确；④没有用花括号“{ }”括起来，不表示集合，故④不正确；⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等，故⑤正确；⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号( )，条件中“或”也要改为“且”，故⑥不正确．
答案：②⑤
题型四 元素的三个特性的应用
[典例] 已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.
(1)若－3∈A，求a的值；
(2)若x2∈B，求实数x的值；
(3)是否存在实数a，x，使A＝B.
解 (1)由－3∈A且a2＋1≥1，
可知a－3＝－3或2a－1＝－3，
当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.
经检验，0与－1都符合要求．
∴a＝0或－1.
(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，
但考虑到集合元素的互异性，x≠0，x≠1，故x＝－1.
(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，
只可能a－3＝0或2a－1＝0.
若a－3＝0，则a＝3，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝{0,5,10}≠B.
若2a－1＝0，则a＝eq \f(1,2)，
A＝{a－3,2a－1，a2＋1}
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，－\f(5,2)，\f(5,4)))≠B.
故不存在这样的实数a，x，使A＝B.
点评 元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；②给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等．
元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．
另外，此类问题常涉及分类讨论的数学思想．
通过本节的学习，使学生初步感受到运用集合语言表述数学对象时的简洁和准确，体会数学的简洁美．本设计结构为“问题情境→学生活动→微课辅助→意义建构→数学运用→回顾反思”。特出以课本为抓手，以“知识点填空”的方式逐层深入，为“学生活动”和“意义建构”这两个关键教学环节的落实，提供了实在而广阔的空间．课程目标
学科素养
A．理解集合的概念；理解元素与集合的“属于”与“不属于”关系；熟记常用数集专用符号．
B．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
C．会用集合的两种表示方法表示一些简单集合。感受集合语言的意义和作用。
1.数学抽象：集合概念的理解，描述法表示集合的方法；
2.逻辑推理：集合的互异性的辨析与应用；
3.数学运算：集合相等时的参数计算，集合的描述法转化为列举法时的运算；
4.直观想象：集合的图形表示；
5.数学建模：用集合思想对实际生活中的对象进行判断与归类。
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R