2021学年7.3 三角函数的图象和性质教学设计

第七章　三角函数

7.3.2.3   正切函数的图象与性质

本节课是三角函数的继续，三角函数包含正弦函数、余弦函数、正切函数.而本课内容是正切函数的性质与图像.首先根据单位圆中正切函数的定义探究其图像，然后通过图像研究正切函数的性质.

教学重点：能够利用正切函数图象准确归纳其性质并能简单地应用；

教学难点：掌握利用单位圆中正切函数定义得到其图象.

1．函数y＝cos的单调减区间为________．

解析：∵y＝cos＝cos，

令2kπ≤2x－≤2kπ＋π(k∈Z)，

得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．

2．若f(x)＝sin x，x∈，则f(x)的取值范围是________．

解析：由正弦函数图象知，当x＝时，f(x)max＝1，当x＝时，f(x)min＝，从而f(x)∈.

答案：

3．函数y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间为________．

解析：因为sin(x＋π)＝－sin x，所以要求y＝sin(x＋π)在上的单调递增区间，即求y＝sin x在上的单调递减区间，易知为.

答案：

　函数y＝tan x的图象与性质见下表：

典型例题

类型一　正切函数的定义域、值域问题

例1　(1)函数y＝3tan的定义域为________．

答案　

解析　由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z，

即函数的定义域为.

(2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域．

解　由3x＋≠kπ＋，k∈Z，

得x≠＋，k∈Z，

所以函数的定义域为.

设t＝tan，

则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥，

所以原函数的值域是.

总结　(1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．

(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解．

变式训练　求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．

解　由题意得即－1≤tan x<1.

在内，满足上述不等式的x的取值范围是.

又y＝tan x的周期为π，

所以函数的定义域是(k∈Z)．

类型二　正切函数的单调性问题

命题角度1　求正切函数的单调区间

例2　求函数y＝tan的单调区间及最小正周期．

解　y＝tan＝－tan，

由kπ－<x－<kπ＋(k∈Z)，

得2kπ－<x<2kπ＋π(k∈Z)，

所以函数y＝tan的单调递减区间是，k∈Z，周期T＝＝2π.

总结　y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．

命题角度2　利用正切函数的单调性比较大小

例3　比较大小：

(1)tan 32°________tan 215°；

(2)tan________tan.

答案　(1)<　(2)<

解析　(1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，

∵y＝tan x在(0°，90°)上单调递增，32°<35°，

∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.

(2)tan＝tan＝tan，

tan＝tan＝tan，

∵y＝tan x在上单调递增，且－<－，

∴tan<tan，即tan<tan.

总结　运用正切函数的单调性比较大小的步骤

(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内；

(2)运用单调性比较大小关系．

类型三　正切函数综合问题

例4　设函数f(x)＝tan.

(1)求函数f(x)的最小正周期，对称中心；

(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图．

解　(1)∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝2π.

令－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，

∴f(x)的对称中心是(k∈Z)．

(2)令－＝0，则x＝；令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝；令－＝，则x＝；

令－＝－，则x＝－.

∴函数y＝tan的图象与x轴的一个交点坐标是，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)．

总结　熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支曲线组成，y＝tan x的对称中心为，k∈Z.

变式训练　画出f(x)＝tan |x|的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．

考点　正切函数的综合应用

题点　正切函数的综合应用

解　f(x)＝tan |x|化为f(x)＝

根据y＝tan x的图象，作出f(x)＝tan |x|的图象，如图所示，

由图象知，f(x)不是周期函数，是偶函数，单调增区间为，(k∈N)；单调减区间为，(k＝0，－1，－2，…).

正切函数是在学习了正弦函数、余弦函数的图像与性质的基础上学习的，学生相对而言容易掌握，单调性方面学生需要注意是开区间且只有增区间. 另外恰当地使用信息技术．有条件应尽量使用计算器（机）．把计算机变成学习的好伙伴．