数学必修 第一册7.4 三角函数应用教学设计

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本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，进一步突出函数来源于生活应用于生活的思想，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想,从而培养学生的创新精神和实践能力.
教学重点：了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题；
教学难点：实际问题抽象为三角函数模型.
1．为了得到函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2π,3)))的图象，只需把函数y＝sin x的图象__________________．
答案：向右平移eq \f(2π,3)个单位长度
2．将函数y＝sin x的图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍，横坐标不变，则所得图象对应的函数为________．
答案：y＝3sin x
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝________.
答案：4
4．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))图象的一条对称轴为x＝α，若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，则α＝________.
解析：由α－eq \f(π,4)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，得α＝kπ＋eq \f(3π,4)(k∈Z)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，所以k＝－1，α＝－eq \f(π,4).
答案：－eq \f(π,4)
知识点 利用三角函数模型解释自然现象
在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化．
思考 现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
答案 三角函数模型．
梳理 (1)利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤
第一步：阅读理解，审清题意．
读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．
第二步：收集、整理数据，建立数学模型．
根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化．
第三步：利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答．
第四步：将所得结论转译成实际问题的答案．
(2)三角函数模型的建立程序
如图所示：
典型例题
类型一 三角函数模型在物理中的应用
例1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6))).
(1)画出它的图象；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期T＝eq \f(2π,2π)＝1(s)．
列表：
描点画图：
(2)①小球开始摆动(即t＝0)，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
总结 此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径．
跟踪训练1 如图是一个简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
答案 D
解析 由图象及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.
类型二 三角函数模型在生活中的应用
例2 如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cs ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝eq \f(π,6)，
所以y＝40.5－40cs eq \f(π,6)t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cs eq \f(π,6)t0，得cs eq \f(π,6)t0＝－eq \f(1,2)，
所以eq \f(π,6)t0＝eq \f(2π,3)或eq \f(π,6)t0＝eq \f(4π,3)，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
总结 解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：(1)认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；(2)建立三角函数模型，将实际问题数学化；(3)利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；(4)根据实际问题的意义，得出实际问题的解；(5)将所得结论返回、转译成实际问题的答案．
跟踪训练2 如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在距离地面2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
解 (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为eq \f(2π,300) t＝eq \f(π,150) t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin eq \f(π,150)t＋12(t≥0)．
(2)由10sineq \f(π,150)t＋12≥17，得sineq \f(π,150)t≥eq \f(1,2)，
则25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
例3已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：
经过长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acs ωt＋b的图象．
(1)根据以上数据，求函数y＝Acs ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；
(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时至晚上20时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？
[解] (1)由表中数据知周期T＝12.
∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6).
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，
由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为eq \f(1,2)，
∴y＝eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1.
(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，
∴eq \f(1,2)cs eq \f(π,6)t＋1＞1，∴cs eq \f(π,6)t＞0.
∴2kπ－eq \f(π,2)＜eq \f(π,6)t＜2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
即12k－3＜t＜12k＋3，k∈Z，
∵0≤t≤24，故可令k分别为0,1,2，
得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
∴在规定时间上午8时至晚上20时之间，有6个小时时间可供冲浪者运动，即上午9时至下午3时．
以问题引导教学，让学生听有所思，思有所获，获有所感。问题串的设计，使学习内容在难度和强度上循序渐进而又螺旋上升，并通过互动逐一达成教学目标，突出重点，突破难点，较好的提高了课堂教学的有效性。课程目标
学科素养
1.会用三角函数解决一些简单的实际问题.
2.体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
1.数学抽象：实际问题抽象为三角函数模型问题；
2.数据分析：分析、整理、利用信息，从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型；
3.数学运算：实际问题求解；
4.数学建模：体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学建模思想，提高学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.
t
0
eq \f(1,6)
eq \f(5,12)
eq \f(2,3)
eq \f(11,12)
1
2πt＋eq \f(π,6)
eq \f(π,6)
eq \f(π,2)
π
eq \f(3π,2)
2π
2π＋eq \f(π,6)
6sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2πt＋\f(π,6)))
3
6
0
－6
0
3
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1
0.5
0.99
1.5