必修 第一册6.1 幂函数导学案

这是一份必修 第一册6.1 幂函数导学案，共7页。


1.了解幂函数的概念.
2.掌握y＝xαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的图象与性质.
3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题．
1.教学重点：幂函数图象与性质的理解.
2.教学难点：掌握幂函数在第一象限的分类特征.
1．判断．(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若函数f(x)＝－x2，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))，则f(x)是偶函数．( )
(2)若函数f(x)＝eq \r(x2)，则f(x)既不是奇函数也不是偶函数．( )
(3)若函数f(x)＝x0，则f(x)是奇函数．( )
(4)若函数f(x)＝0，则f(x)既是奇函数也是偶函数．( )
2．若函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，则f(－2)和f(2)的大小关系为________．
3．若函数f(x)＝2x＋b是奇函数，则b＝________.
4．若函数y＝x2＋mx的图象关于y轴对称，则m＝____________.
一 幂函数的概念
一般地， 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
二 五个幂函数的图象与性质
1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象．
知识点三 一般幂函数的图象特征
一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点 ；
(2)当α>0时，幂函数的图象通过 ，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．
(3)当 时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数；
(4)第一象限，作x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从
到 的顺序排列．
类型一 幂函数的概念
例1 已知是幂函数，求m，n的值．
跟踪训练 在函数y＝eq \f(1,x2)，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
类型二 幂函数的图象及应用
例2 若点(eq \r(2)，2)在幂函数f(x)的图象上，点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,4)))在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；
(2)f(x)＝g(x)；
(3)f(x)类型三 幂函数性质的应用
命题角度1 比较大小
例3 比较下列各组数中两个数的大小：
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))0.3与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))0.3；
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))－1与eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))－1；
命题角度2 幂函数性质的综合应用
例4 已知幂函数y＝x3m－9 (m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0，＋∞)上单调递减，求满足
的a的取值范围．
1．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
2．下列函数中是幂函数的是( )
A．y＝x4＋x2 B．y＝10x
C．y＝eq \f(1,x3) D．y＝x＋1
3．已知y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，且在第一象限内是单调递减的，则m的值为( )
A．－3 B．2
C．－3或2 D．3
4．如图，图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的大致图象，已知α取－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α的值依次为( )
A．－2，－eq \f(1,2)，eq \f(1,2)，2 B．2，eq \f(1,2)，－eq \f(1,2)，－2
C．－eq \f(1,2)，－2,2，eq \f(1,2) D．2，eq \f(1,2)，－2，－eq \f(1,2)
5．已知幂函数 (n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为( )
A．－3 B．1
C．2 D．1或2
参考答案
1. 答案 C
解析 由幂函数的定义知k＝1.又feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(\r(2),2)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(\r(2),2)，解得α＝eq \f(1,2)，从而k＋α＝eq \f(3,2).
2. 答案 C
解析 根据幂函数的定义知，y＝eq \f(1,x3)是幂函数，
y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是幂函数．
3. 答案 A
解析 由y＝(m2＋m－5)xm是幂函数，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵该函数在第一象限内是单调递减的，∴m<0.故m＝－3.
4. 答案 A
解析 根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来，在x>0时是增函数，所以a>c，y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)))x在x>0时是减函数，所以c>b，所以a>c>b.
5答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，
解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
6答案 B
解析 令x＝2，由图知C1，C2，C3，C4对应纵坐标依次减小，而故选B.