苏教版 (2019)必修 第一册第7章 三角函数7.1 角与弧度教案

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学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,实质上还是为后继学习任意角的三角函数作准备,尤其是三角函数的图象，只有把角度转化为弧度，弧度是一个实数，才能在数轴上作出相应的点。因此本节课还起着启下的作用。通过本节弧度制的学习,我们建立起实数与角之间一一对应，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
1.教学重点：能对弧度和角度进行正确的转换.
2.教学难点：扇形弧长公式和面积公式的应用.
1．下列命题正确的是____________(填序号)．
①－30°是第一象限角；
②750°是第四象限角；
③终边相同的角一定相等；
④－950°12′是第二象限的角．
答案：④
2．－1 120°角所在象限是____________．
答案：第四象限
3．与405°角终边相同的角的集合是____________．
答案：{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
4．在－180°到360°范围内，与2 000°角终边相同的角为____________．
答案：－160°，200°
1．角的单位制
(1)角度制：
规定周角的eq \f(1,360)为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．
(2)弧度制：
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度，通常略去不写．
(3)角的弧度数的求法：
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝eq \f(l,r).
[点睛] (1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两个字可以省略不写．
(2)不能忽略角的正、负．
2．角度与弧度的换算
(1)换算公式
(2)一些特殊角的度数与弧度的换算
3．扇形的弧长与面积公式
[点睛] (1)由扇形的弧长及面积公式可知，对于α，r，l，S可以“知二求二”．
(2)弧度制下的弧长公式和扇形面积公式有很多优越性，但要注意角必须化为弧度后再计算．
典型例题
类型一 角度与弧度的互化
例1 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)eq \f(7π,12)；(4)－eq \f(11π,5).
解 (1)20°＝eq \f(20π,180)＝eq \f(π,9).
(2)－15°＝－eq \f(15π,180)＝－eq \f(π,12).
(3)eq \f(7π,12)＝eq \f(7,12)×180°＝105°.
(4)－eq \f(11π,5)＝－eq \f(11,5)×180°＝－396°.
总结： 将角度转化为弧度时，要把带有分、秒的部分化为度之后，牢记π rad＝180°即可求解．把弧度转化为角度时，直接用弧度数乘以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°即可．
类型二 用弧度制表示终边相同的角
例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第几象限角．
(1)－1 500°；(2)eq \f(23π,6)；(3)－4.
解 (1)∵－1 500°＝－1 800°＋300°＝－5×360°＋300°.
∴－1 500°可化成－10π＋eq \f(5π,3)，是第四象限角．
(2)∵eq \f(23π,6)＝2π＋eq \f(11π,6)，
∴eq \f(23π,6)与eq \f(11π,6)终边相同，是第四象限角．
(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，eq \f(π,2)＜2π－4＜π.
∴－4与2π－4终边相同，是第二象限角．
总结： 用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练 (1)把－1 480°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α≤2π；
(2)在[0°，720°]内找出与eq \f(2π,5)角终边相同的角．
解 (1)∵－1 480°＝－1 480×eq \f(π,180)＝－eq \f(74π,9)，
而－eq \f(74π,9)＝－10π＋eq \f(16π,9)，且0≤α≤2π，∴α＝eq \f(16π,9).
∴－1 480°＝eq \f(16π,9)＋2×(－5)π.
(2)∵eq \f(2π,5)＝eq \f(2π,5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°＝72°，
∴终边与eq \f(2π,5)角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)，
当k＝0时，θ＝72°；当k＝1时，θ＝432°.
∴在[0°，720°]内与eq \f(2π,5)角终边相同的角为72°，432°.
类型三 扇形的弧长及面积公式的应用
例3 (1)若扇形的中心角为120°，半径为eq \r(3)，则此扇形的面积为( )
A．π B.eq \f(5π,4) C.eq \f(\r(3)π,3) D.eq \f(2\r(3)π,9)
(2)如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心角所对的弧长为( )
A．2 B.eq \f(2,sin 1) C．2sin 1 D.eq \f(4,sin 1)
答案 (1)A (2)D
解析 (1)扇形的中心角为120°＝eq \f(2π,3)，半径为eq \r(3)，
所以S扇形＝eq \f(1,2)|α|r2＝eq \f(1,2)×eq \f(2π,3)×(eq \r(3))2＝π.
(2)连接圆心与弦的中点，则以弦心距、弦长的一半、半径长为长度的线段构成一个直角三角形，半弦长为2，其所对的圆心角也为2，故半径长为eq \f(2,sin 1).这个圆心角所对的弧长为2×eq \f(2,sin 1)＝eq \f(4,sin 1).
总结： 联系半径、弧长和圆心角的有两个公式：一是S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2，二是l＝|α|r，如果已知其中两个，就可以求出另一个．求解时应注意先把度化为弧度，再计算．
跟踪训练3 一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．
解 设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，
∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝eq \f(1,2)lR，
得1＝eq \f(1,2)(4－2R)·R，
∴R＝1，∴l＝2，∴α＝eq \f(l,R)＝eq \f(2,1)＝2，
即扇形的圆心角为2 rad.
由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。课程目标
学科素养
1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.
2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.
3.掌握并能应用弧度制下的扇形弧长公式和面积公式．
a数学抽象: 理解角度制与弧度制的概念.
b逻辑推理: 能对弧度和角度进行正确的转换.
c数学运算: 扇形弧长公式和面积公式的应用.
角度化弧度
弧度化角度
度数×eq \f(π,180)＝弧度数
弧度数×eq \f(180,π)°＝度数
360°＝2π_rad
2π rad＝360°
180°＝π_rad
π rad＝180°
1°＝eq \f(π,180) rad≈0.017 45 rad
1 rad＝eq \f(180,π)°≈57.30°
度
0°
1°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
弧度
0
eq \f(π,180)
eq \f(π,6)
eq \f(π,4)
eq \f(π,3)
eq \f(π,2)
eq \f(2π,3)
eq \f(3π,4)
eq \f(5π,6)
π
eq \f(3π,2)
2π
公式
度量制
弧长公式
扇形面积公式
角度制
l＝eq \f(nπr,180)
S＝eq \f(nπr2,360)
弧度制
l＝α·r
(0<α<2π)
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2
(0<α<2π)