苏教版 (2019)必修 第一册第3章 不等式3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式导学案

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A．理解函数图象是点的集合
B．掌握求函数值域的基本方法
C．能熟练作出一些初等函数的图象
1.教学重点：熟练作出一些初等函数的图象
2.教学难点：掌握求函数值域的基本方法
1．下列对应是函数的为________(填序号)．
(1)x→x2，x∈R；
(2)x→y，其中y2＝x，x∈(0，＋∞)，y∈R；
(3)t→s，其中s＝eq \f(t2＋1,t－1)，t≠1，t∈R.
2．若f(x)＝x2－2，则f(2)＝________，f[f (2)]＝________.
3．已知函数f(x)＝eq \f(x＋2,x－6)，则f[f (14)]＝________，若f(x)＝3，则x＝________.
4．函数y＝2＋eq \f(3,x－2)的定义域为____________．
1．函数的值域
若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有 与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．
2．函数的图象
将自变量的一个值x0作为 ，相应的函数值f(x0)作为 ，就得到坐标平面上的一个点 ，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
典例剖析
题型一 作函数图象
[典例] 作出下列函数的图象并求其值域．
(1)y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
(2)y＝2x2－4x－3(0≤x<3)．
[变式训练] 作出下列函数图象，并指出其值域．
(1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)；
(2)y＝eq \f(2,x)(－2≤x＜1且x≠0)．
题型二 函数图象的应用
[典例] 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题．
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域；
(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．
[变式训练]
函数y＝f(x)图象如图所示，则：
(1)f(0)＝________；
(2)f(－2)＝________；
(3)f[f(2)]＝________；
(4)若－1＜x1≤x2＜2，则f(x1)与f(x2)的大小关系为________；
(5)若f(x)＝0，则x＝________.
题型三 函数值域的求法
[典例] 求下列函数值域：
(1)y＝2x2－2x＋3；
(2)y＝eq \f(3x＋7,x＋2)；
(3)y＝2x－eq \r(x－1)；
(4)y＝2－eq \r(－x2＋4x).
1．函数y＝－ax＋1与y＝ax2在同一坐标系中的图象大致是图中的________．
2．函数y＝eq \f(1,x＋1)的图象可以看作是由函数y＝eq \f(1,x)的图象沿x轴方向向________平移________个单位长度而得到．
3．函数y＝eq \r(16－x2)的值域为________．
4．画出下列函数的图象：
(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；
(2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)；
(3)y＝eq \f(2,x＋2).
5．求下列函数的值域
(1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；
(2)y＝eq \f(x2－1,x2＋1)；
(3)y＝－x2－2x＋1，x∈[－2,1)；
(4)y＝x＋eq \r(2x＋1).
参考答案
1．解析：直线y＝－ax＋1过点(0,1)，若－a>0即a<0时，直线如图①②，但这时y＝ax2过点(0,0)且开口向下，①②均不符合；若－a<0即a>0时，直线如图③④，这时y＝ax2过点(0,0)且开口向上．
答案：④
2．答案：左 1
3．解析：∵x2≥0，∴16－x2≤16. 又要使函数有意义，则16－x2≥0，
即0≤16－x2≤16，∴0≤eq \r(16－x2)≤4，故函数y＝eq \r(16－x2)的值域为[0,4]．
答案：[0,4]
4．解：(1)当x＝0时，y＝1；当x＝2时，y＝5. 所画图象如图(1)所示．
(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，
当x＝－1时，y＝3. 当x＝0时，y＝0. 当x＝1时，y＝－1.
当x＝2时，y＝0.所画图象如图(2)所示．
(3)y＝eq \f(2,x＋2)的图象就是把y＝eq \f(2,x)的图象左移2个单位而得到，其图象如图(3)所示．
5．解：(1)由于f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，f(5)＝6，故值域为{2,3,4,5,6}．
(2)y＝eq \f(x2－1,x2＋1)＝eq \f(x2＋1－2,x2＋1)＝1－eq \f(2,x2＋1).
∵x2＋1≥1，∴0＜eq \f(2,x2＋1)≤2.∴－1≤1－eq \f(2,x2＋1)＜1.故值域为[－1,1)．
(3)y＝－(x＋1)2＋2，x∈[－2,1)．
画出其图象如图：观察图象可知值域为(－2,2]．
(4)设t＝eq \r(2x＋1)，则t≥0且x＝eq \f(t2－1,2)，∴y＝eq \f(t2－1,2)＋t＝eq \f(1,2)(t＋1)2－1，
画出其图象如图，观察可知值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)).