苏教版 (2019)必修 第一册3.2 基本不等式教案设计

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本节是基本不等式的应用，让同学们感受数学是来源于生活，又作用于生活.也是一门基础科学，应当感受到数学对物理、化学等其他学科的作用.作为本节课的学习任务，同学们还应当掌握解决实际应用题的一般程序，即审题，建模，研究模，再回到实际问题验证作答.
1. 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
2. 能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
1．重要不等式
当a，b是任意实数时，有a2＋b2≥ 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
2．基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把eq \f(a＋b,2)称为正数a，b的算术平均数，把eq \r(ab)称为正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式定义：如果a，b是正数，那么eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)，当且仅当a＝b时取“＝”．
(3)变形：ab ≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2≤eq \f(a2＋b2,2)，a＋b≥ 2eq \r(ab) (其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立)．
已知x，y∈(0，＋∞)，
(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(S2,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(xy≤\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2＝\f(S2,4)))；
(2)若xy＝P(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(P) (x＋y≥2eq \r(xy)＝2eq \r(P))．
在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键．
典例剖析
题型一 基本不等式与最值
例1 (1)若x>0，求函数y＝x＋eq \f(4,x)的最小值，并求此时x的值；
(2)设00，y>0，且 eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，求x＋y的最小值.
解 (1)当x>0时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(x·\f(4,x))＝4，
当且仅当x＝eq \f(4,x)，即x2＝4，x＝2时，取等号.
∴函数y＝x＋eq \f(4,x)(x>0)在x＝2处取得最小值4.
(2)∵00，y>0，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
∴x＋y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)＋\f(9,y)))(x＋y)＝eq \f(y,x)＋eq \f(9x,y)＋10
≥2eq \r(\f(y,x)·\f(9x,y))＋10＝6＋10＝16，
当且仅当eq \f(y,x)＝eq \f(9x,y)，eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，
即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
方法二 由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值).
由eq \f(1,x)＋eq \f(9,y)＝1可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥2eq \r(x－1y－9)＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时，上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
点评 在利用基本不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件是否具备.
变式训练：(1)已知x>0，求f(x)＝eq \f(12,x)＋3x的最小值；
(2)已知x0，∴f(x)＝eq \f(12,x)＋3x≥2eq \r(\f(12,x)·3x)＝12，
当且仅当3x＝eq \f(12,x)，即x＝2时，取等号，
∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x