高中数学8.2 函数与数学模型教案设计

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本节是在前面学习了函数的解析式的基础上引入的，首先应该明白分段函数是一个函数，只是已分段的形式表示而已。其次了解一些简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．或者给定函数值会求自变量。
1.教学重点：会用解析法及图象法表示分段函数.
2.教学难点：分段函数的求值问题.
1．已知函数f(x＋1)＝(x＋1)2，则f(x)＝________.
答案：x2
2．面积为100 m2的等腰梯形，上底长为x m，下底为上底的3倍，则高y与x的解析式为________．
答案：y＝eq \f(50,x)(x＞0)
3．已知函数F(x)＝f(x)＋g(x)，其中f(x)是x的正比例函数，g(x)是x的反比例函数，且Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，则F(x)的解析式为________．
解析：设f(x)＝kx(k≠0)，g(x)＝eq \f(m,x)(m≠0)，
则F(x)＝kx＋eq \f(m,x).
由Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝16，F(1)＝8，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)k＋3m＝16，,k＋m＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝3，,m＝5，))
所以F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)．
答案：F(x)＝3x＋eq \f(5,x)(x≠0)
4．已知x≠0时，f(x)满足f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)，则f(x)的表达式为________．
解析：∵f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))＝x2＋eq \f(1,x2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))2＋2，
∴f(x)＝x2＋2(x≠0)．
答案：f(x)＝x2＋2(x≠0)
类型一 建立分段函数模型
例1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5公里以内(含5公里)，票价2元；
(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．
解 设票价为y元，里程为x公里，定义域为(0,20]．
由题意得函数的解析式为y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，0函数图象如图所示：
总结 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．
类型二 研究分段函数的性质
命题角度1 给x求y
例2 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.
∵－eq \r(3)∈(－2,2)，
∴f(－eq \r(3))＝(－eq \r(3))2＋2×(－eq \r(3))＝3－2eq \r(3).
∵－eq \f(5,2)∈(－∞，－2]，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))＝－eq \f(5,2)＋1＝－eq \f(3,2)∈(－2,2)，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,2)))))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))
＝－eq \f(3,4).
总结 分段函数求函数值的方法
(1)确定要求值的自变量属于哪一区间；
(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值．
变式训练 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4，x≤0，,x2－2x，04.))
(1)求f(f(f(5)))的值；
(2)画出函数f(x)的图象．
解 (1)因为5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.
因为－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.
因为0<1≤4，
所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.
(2)f(x)的图象如下：
命题角度2 给y求x
例3 已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x≤2，,x2＋2，x>2.))
(1)若f(x0)＝8，求x0的值；
(2)解不等式f(x)>8.
解 (1)当x0≤2时，由2x0＝8，得x0＝4，不符合题意；
当x0>2时，由xeq \\al(2,0)＋2＝8，得x0＝eq \r(6)或x0＝－eq \r(6)(舍去)，故x0＝eq \r(6).
(2)f(x)>8等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤2，,2x>8，))①
或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>2，,x2＋2>8，))②
解①得x∈∅，解②得x>eq \r(6)，
综合①②知f(x)>8的解集为{x|x>eq \r(6)}．
总结 已知函数值求变量x取值的步骤
(1)先对x的取值范围分类讨论；
(2)然后代入到不同的解析式中；
(3)通过解方程求出x的解；
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；
(5)若解不等式，应把所求x的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x的值并起来．
变式训练 已知f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))
(1)画出f(x)的图象；
(2)若f(x)＝eq \f(1,4)，求x的值；
(3)若f(x)≥eq \f(1,4)，求x的取值范围．
解 (1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．
(2)f(x)＝eq \f(1,4)等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x≤1，,x2＝\f(1,4)，))①或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1或x<－1，,1＝\f(1,4).))②
解①得x＝±eq \f(1,2)，②解集为∅.
∴当f(x)＝eq \f(1,4)时，x＝±eq \f(1,2).
(3)由于f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(1,2)))＝eq \f(1,4)，结合此函数图象可知，
使f(x)≥eq \f(1,4)的x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)).
分段函数要讲清这样几点：
(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．
(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．课程目标
学科素养
1.会用解析法及图象法表示分段函数.
2.给出分段函数，能研究有关性质.
a数学抽象:分段函数的表示形式.
b数学运算:分段函数的两类求值问题.
c数学建模: 目标在不同区间有不同的解析表达方式时会用分段函数表示.