人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案设计

这是一份人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算学案设计，共14页。

1．数乘运算的坐标表示
(1)符号表示：已知a＝(x，y)，则λa＝λ(x，y)＝(λx，λy)．
(2)文字描述：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．
2．平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2)如果用坐标表示，向量a，b(b≠0)共线的充要条件是x1y2－x2y1＝0.
思考：两向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线的坐标条件能表示成eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)吗？
[提示] 不一定，x2，y2有一者为零时，比例式没有意义，只有x2y2≠0时，才能使用．
1．已知向量eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,4)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(0,2)，则eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→))＝( )
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
D [eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up14(→))－eq \(AB,\s\up14(→)))＝eq \f(1,2)(－2，－2)＝(－1，－1)．故选D.]
2．下列各对向量中，共线的是( )
A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)
B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)
C．a＝(eq \r(2)，－1)，b＝(1，eq \r(2))
D．a＝(1，eq \r(2))，b＝(eq \r(2)，2)
D [A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝eq \r(2)a，两个向量共线．]
3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.
－4 [∵a∥b，∴eq \f(6,－3)＝eq \f(y,2)，解得y＝－4.]
4．若A(3，－6)，B(－5,2)，C(6，y)三点共线，则y＝________.
－9 [eq \(AB,\s\up14(→))＝(－8,8)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(3，y＋6)，∵A，B，C三点共线，即eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(AC,\s\up14(→))，∴－8(y＋6)－8×3＝0，解得y＝－9.]
【例1】 (1)下列各组向量中，共线的是( )
A．a＝(－2,3)，b＝(4,6)
B．a＝(2,3)，b＝(3,2)
C．a＝(1，－2)，b＝(7,14)
D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)
(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量eq \(AB,\s\up14(→))与eq \(CD,\s\up14(→))平行吗？直线AB平行于直线CD吗？
[思路探究] (1)利用“纵横交错积相减”判断．
(2)eq \x(判断向量\(AB,\s\up14(→))，\(CD,\s\up14(→))平行)→eq \x(无相交点)→eq \x(AB∥CD)
(1)D [A中，－2×6－3×4≠0，B中3×3－2×2≠0，C中1×14－(－2)×7≠0，D中(－3)×(－4)－2×6＝0.故选D.]
(2)[解] ∵eq \(AB,\s\up14(→))＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，
eq \(CD,\s\up14(→))＝(2－1,7－5)＝(1,2)．
又2×2－4×1＝0，
∴eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(CD,\s\up14(→)).
又eq \(AC,\s\up14(→))＝(2,6)，eq \(AB,\s\up14(→))＝(2,4)，
∴2×4－2×6≠0，
∴A，B，C不共线，
∴AB与CD不重合，
∴AB∥CD.
向量共线的判定方法
提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．
1．已知A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8，\f(1,2)))，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线．
[证明] eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8－1，\f(1,2)＋3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，\f(7,2)))，eq \(AC,\s\up14(→))＝(9－1,1＋3)＝(8,4)，
∵7×4－eq \f(7,2)×8＝0，
∴eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(AC,\s\up14(→))，且eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(AC,\s\up14(→))有公共点A，
∴A，B，C三点共线.
【例2】 已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
[思路探究] 法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；
法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．
[解] 法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，
当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，
使ka＋b＝λ(a－3b)．
由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))
解得k＝λ＝－eq \f(1,3).
当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)，
因为λ＝－eq \f(1,3)<0，
所以ka＋b与a－3b反向．
法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为ka＋b与a－3b平行，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
解得k＝－eq \f(1,3).
这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2))＝－eq \f(1,3)(a－3b)，
所以当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．
利用向量平行的条件处理求值问题的思路
(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．
(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)，若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
eq \f(1,2) [由题可得2a＋b＝(4,2)，
∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，
∴4λ－2＝0，即λ＝eq \f(1,2).]
【例3】 (1)已知向量a＝(cs α，－2)，b＝(sin α，1)，且a∥b，则2sin αcs α等于( )
A．3 B．－3
C．－eq \f(4,5) D.eq \f(4,5)
(2)如图所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标．
[思路探究] (1)先由a∥b推出sin α与cs α的关系，求tan α，再用“1”的代换求2sin αcs α.
(2)要求点P的坐标，只需求出向量eq \(OP,\s\up14(→))的坐标，由eq \(OP,\s\up14(→))与eq \(OB,\s\up14(→))共线得到eq \(OP,\s\up14(→))＝λeq \(OB,\s\up14(→))，利用eq \(AP,\s\up14(→))与eq \(AC,\s\up14(→))共线的坐标表示求出λ即可；也可设P(x，y)，由eq \(OP,\s\up14(→))∥eq \(OB,\s\up14(→))及eq \(AP,\s\up14(→))∥eq \(AC,\s\up14(→))，列出关于x，y的方程组求解．
(1)C [因为a∥b，所以cs α×1－(－2)×sin α＝0，即cs α＝－2sin α，tan α＝－eq \f(1,2)，
所以2sin αcs α＝eq \f(2sin αcs α,sin2α＋cs2α)＝eq \f(2tan α,tan2α＋1)
＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))2＋1)＝－eq \f(4,5).]
(2)[解] 法一：(定理法)由O，P，B三点共线，可设eq \(OP,\s\up14(→))＝λeq \(OB,\s\up14(→))＝(4λ，4λ)，则eq \(AP,\s\up14(→))＝eq \(OP,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(4λ－4,4λ)，eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(－2,6)．
由eq \(AP,\s\up14(→))与eq \(AC,\s\up14(→))共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝eq \f(3,4)，所以eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(3,4)eq \(OB,\s\up14(→))＝(3,3)，所以P点的坐标为(3,3)．
法二：(坐标法)设P(x，y)，则eq \(OP,\s\up14(→))＝(x，y)，因为eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,4)，且eq \(OP,\s\up14(→))与eq \(OB,\s\up14(→))共线，所以eq \f(x,4)＝eq \f(y,4)，即x＝y.
又eq \(AP,\s\up14(→))＝(x－4，y)，eq \(AC,\s\up14(→))＝(－2,6)，且eq \(AP,\s\up14(→))与eq \(AC,\s\up14(→))共线，则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以P点的坐标为(3,3)．
应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤
3.如图所示，已知△AOB中，A(0,5)，O(0,0)，B(4,3)，eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up14(→))，eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up14(→))，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
[解] 因为eq \(OC,\s\up14(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up14(→))＝eq \f(1,4)(0,5)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4)))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(5,4))).
因为eq \(OD,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，
所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2))).
设M(x，y)，则eq \(AM,\s\up14(→))＝(x，y－5)，
eq \(AD,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－0，\f(3,2)－5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(7,2))).
因为eq \(AM,\s\up14(→))∥eq \(AD,\s\up14(→))，
所以－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0，
即7x＋4y＝20.①
又eq \(CM,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，y－\f(5,4)))，eq \(CB,\s\up14(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4，\f(7,4)))，
因为eq \(CM,\s\up14(→))∥eq \(CB,\s\up14(→))，所以eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(5,4)))＝0，
即7x－16y＝－20.②
联立①②解得x＝eq \f(12,7)，y＝2，故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,7)，2)).
[探究问题]
1．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？
[提示] 如图所示，∵P为P1P2的中点，
∴eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \(PP2,\s\up14(→))，
∴eq \(OP,\s\up14(→))－eq \(OP1,\s\up14(→))＝eq \(OP2,\s\up14(→))－eq \(OP,\s\up14(→))，
∴eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \(OP2,\s\up14(→)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)))，
∴线段P1P2的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
2．设P1，P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？
[提示] 点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：
①当eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up14(→))时，eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(P1P2,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)(eq \(OP2,\s\up14(→))－eq \(OP1,\s\up14(→)))＝eq \f(2,3)eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(1,3)eq \(OP2,\s\up14(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2x1＋x2,3)，\f(2y1＋y2,3)))；
②当eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \f(2,3)eq \(P1P2,\s\up14(→))时，
eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(P1P2,\s\up14(→))
＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OP2,\s\up14(→))－eq \(OP1,\s\up14(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \f(2,3)eq \(OP2,\s\up14(→))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋2x2,3)，\f(y1＋2y2,3))).
3．当eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(PP2,\s\up14(→))时，点P的坐标是什么？
提示：∵eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋eq \(P1P,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋λeq \(PP2,\s\up14(→))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋λ(eq \(OP2,\s\up14(→))－eq \(OP,\s\up14(→)))＝eq \(OP1,\s\up14(→))＋λeq \(OP2,\s\up14(→))－λeq \(OP,\s\up14(→))，
∴eq \(OP,\s\up14(→))＝eq \f(\(OP1,\s\up14(→))＋λ\(OP2,\s\up14(→)),1＋λ)
＝eq \f(1,1＋λ)(x1，y1)＋eq \f(λ,1＋λ)(x2，y2)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1＋λ)x1，\f(1,1＋λ)y1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,1＋λ)x2，\f(λ,1＋λ)y2))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ)))，
∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋λx2,1＋λ)，\f(y1＋λy2,1＋λ))).
【例4】 已知点A(3，－4)与点B(－1,2)，点P在直线AB上，且|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|，求点P的坐标．
[思路探究] 点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论．
[解] 设P点坐标为(x，y)，
|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|.
当P在线段AB上时，eq \(AP,\s\up14(→))＝2eq \(PB,\s\up14(→))，
∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－2－2x，,y＋4＝4－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝0，))
∴P点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0)).
当P在线段AB延长线上时，eq \(AP,\s\up14(→))＝－2eq \(PB,\s\up14(→))，
∴(x－3，y＋4)＝－2(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝2＋2x，,y＋4＝－4＋2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝8，))
∴P点坐标为(－5,8)．
综上所述，点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，0))或(－5,8)．
1．若将本例条件“|eq \(AP,\s\up14(→))|＝2|eq \(PB,\s\up14(→))|”改为“eq \(AP,\s\up14(→))＝3eq \(PB,\s\up14(→))”其他条件不变，求点P的坐标．
[解] 因为eq \(AP,\s\up14(→))＝3eq \(PB,\s\up14(→))，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝－3－3x，,y＋4＝6－3y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝\f(1,2)，))
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2))).
2．若将本例条件改为“经过点P(－2,3)的直线分别交x轴、y轴于点A，B，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝3|eq \(AP,\s\up14(→))|”，求点A，B的坐标．
[解] 由题设知，A，B，P三点共线，且|eq \(AB,\s\up14(→))|＝3|eq \(AP,\s\up14(→))|，设A(x,0)，B(0，y)，
①点P在A，B之间，则有eq \(AB,\s\up14(→))＝3eq \(AP,\s\up14(→))，
∴(－x，y)＝3(－2－x,3)，
解得x＝－3，y＝9，
点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)．
②点P不在A，B之间，
则有eq \(AB,\s\up14(→))＝－3eq \(AP,\s\up14(→))，同理，
可求得点A，B的坐标分别为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))，(0，－9)．
综上，点A，B的坐标分别为(－3,0)，(0,9)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))，(0，－9)．
求点的坐标时注意的问题
(1)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．若点P是P1P2的中点时，则P(x，y)为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).
(2)求线段P1P2上或延长线上的点的坐标时，不必过分强调公式的记忆，可以转化为向量问题后列出方程组求解，同时要注意分类讨论．
(3)若eq \(P1P,\s\up14(→))＝λeq \(P1P2,\s\up14(→))(λ≠0)，
①0＜λ＜1时，P在线段P1P2上；
②λ＝1时，P与P2重合；
③λ＞1时，点P在线段P1P2延长线上；
④λ＜0时，点P在线段P1P2反向延长线上．
1．两个向量共线条件的表示方法
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
(1)当b≠0时，a＝λb.
(2)x1y2－x2y1＝0.
(3)当x2y2≠0时，eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2)，即两向量的相应坐标成比例．
2．向量共线的坐标表示的应用
两向量共线的坐标表示的应用，可分为两个方面．
(1)已知两个向量的坐标判定两向量共线．联系平面几何平行、共线知识，可以证明三点共线、直线平行等几何问题．要注意区分向量的共线、平行与几何中的共线、平行的不同．
(2)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程，要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据．
1．判断正误
(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a与b共线，则eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).( )
(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且x1y2≠x2y1，则a与b不共线．( )
(3)若A，B，C三点共线，则向量eq \(AB,\s\up14(→))，eq \(BC,\s\up14(→))，eq \(CA,\s\up14(→))都是共线向量．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知两点A(2，－1)，B(3,1)，则与eq \(AB,\s\up14(→))平行且方向相反的向量a可以是( )
A．(1，－2) B．(9,3)
C．(－2,4) D．(－4，－8)
D [由题意，得eq \(AB,\s\up14(→))＝(1,2)，所以a＝λeq \(AB,\s\up14(→))＝(λ，2λ)(其中λ＜0)．符合条件的只有D项，故选D.]
3．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于________．
(－4，－8) [∵a∥b，∴1×m－(－2)×2＝0，
∴m＝－4，∴a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，
∴2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．]
4．设O是坐标原点，eq \(OA,\s\up14(→))＝(k,12)，eq \(OB,\s\up14(→))＝(4,5)，eq \(OC,\s\up14(→))＝(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线？
[解] ∵eq \(AB,\s\up14(→))＝eq \(OB,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(4－k，－7)，
eq \(AC,\s\up14(→))＝eq \(OC,\s\up14(→))－eq \(OA,\s\up14(→))＝(10－k，k－12)，
又A，B，C三点共线，
∴由两向量平行，得(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
解得k＝－2或k＝11.
即当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.掌握两数乘向量的坐标运算法则．(重点)
2.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)
3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线，并掌握三点共线的判断方法．(重点)
4.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)
1.通过向量的线性运算，提升数学运算的核心素养.
2.通过平面向量共线的坐标表示，培养逻辑推理的核心素养.
向量共线的判定与证明
已知平面向量共线求参数
向量共线的综合应用
共线向量与线段分点坐标的计算