2020-2021学年第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用第3课时学案设计

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1．正弦定理及其变形
(1)定理内容：
eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝2R(R为外接圆半径)．
(2)正弦定理的常见变形：
①sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
②eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
③a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
④sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R).
思考：在△ABC中，已知acs B＝bcs A．你能把其中的边a，b化为用角表示吗(打算怎么用上述条件)?
[提示] 可借助正弦定理把边化成角：2Rsin Acs B＝2Rsin Bcs A，移项后就是一个三角恒等变换公式sin Acs B－cs Asin B＝0.
2．三角形的面积公式
任意三角形的面积公式为：
(1)S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)absin C，即任意三角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦的乘积的一半．
(2)S△ABC＝eq \f(1,2)ah，其中a为△ABC的一边长，而h为该边上的高的长．
(3)S△ABC＝eq \f(1,2)r(a＋b＋c)＝eq \f(1,2)rl，其中r，l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长．
1．在△ABC中，sin A＝sin C，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
B [由正弦定理可得sin A＝sin C⇒eq \f(a,2R)＝eq \f(c,2R)，即a＝c，所以△ABC为等腰三角形．]
2．在△ABC中，A＝30°，a＝3，b＝2，则这个三角形有( )
A．一解 B．两解
C．无解 D．无法确定
A [由b3．在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中a＝4，b＝3，C＝60°，则△ABC的面积为( )
A．3 B．3eq \r(3) C．6 D．6eq \r(3)
B [由S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)×4×3×eq \f(\r(3),2)得S＝3eq \r(3)，故选B.]
【例1】 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答．
(1)a＝10，b＝20，A＝80°；
(2)a＝2eq \r(3)，b＝6，A＝30°.
[解] (1)a＝10，b＝20，a讨论如下：
∵bsin A＝20sin 80°>20sin 60°＝10eq \r(3)，
∴a(2)a＝2eq \r(3)，b＝6，a∵bsin A＝6sin 30°＝3，a>bsin A，
∴bsin A由正弦定理得
sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(6sin 30°,2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，
又∵B∈(0°，180°)，∴B1＝60°，B2＝120°.
当B1＝60°时，C1＝90°，c1＝eq \f(asin C1,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 90°,sin 30°)＝4eq \r(3)；
当B2＝120°时，C2＝30°，c2＝eq \f(asin C2,sin A)＝eq \f(2\r(3)sin 30°,sin 30°)＝2eq \r(3).
∴B1＝60°时，C1＝90°，c1＝4eq \r(3)；B2＝120°时，C2＝30°，c2＝2eq \r(3).
已知两边和其中一边的对角解三角形时，首先求出另一边的对角的正弦值，根据该正弦值求角时，要根据已知两边的大小情况来确定该角有一个值还是两个值．或者根据该正弦值(不等于1时)在0°～180°范围内求角，一个锐角，一个钝角，只要不与三角形内角和定理矛盾，就是所求.
1．△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°.若该三角形有两解，则x的取值范围是 ．
(2,2eq \r(2)) [由asin B【例2】 在△ABC中，若a＝2，C＝eq \f(π,4)，cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，求△ABC的面积S.
[思路探究] 根据C＝eq \f(π,4)及cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5).利用sin A＝sin(B＋C)求出sin A的值．然后利用正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)求出c值．利用S＝eq \f(1,2)acsin B求解．
[解] ∵cs eq \f(B,2)＝eq \f(2\r(5),5)，
∴cs B＝2cs2 eq \f(B,2)－1＝eq \f(3,5).
∴B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴sin B＝eq \f(4,5).
∵C＝eq \f(π,4)，∴sin A＝sin (B＋C)
＝sin Bcs C＋cs Bsin C＝eq \f(7\r(2),10).
∵eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)，
∴c＝eq \f(asin C,sin A)＝eq \f(2,\f(7\r(2),10))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(10,7).
∴S＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)×2×eq \f(10,7)×eq \f(4,5)＝eq \f(8,7).
已知三角形的两边和夹角可求三角形的面积，三角形的面积公式为S＝eq \f(1,2)ab·sin C＝eq \f(1,2)ac·sin B＝eq \f(1,2)bc·sin A.
2．(1)在△ABC中，若a＝3eq \r(2)，cs C＝eq \f(1,3)，S△ABC＝4eq \r(3)，则b＝ .
(2)在△ABC中，AB＝eq \r(3)，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于 ．
(1)2eq \r(3) (2)eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4) [(1)∵cs C＝eq \f(1,3)，
∴C∈(0°，90°)，
∴sin C＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2)＝eq \f(2\r(2),3)，
又S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)·3eq \r(2)·b·eq \f(2\r(2),3)＝4eq \r(3)，
∴b＝2eq \r(3).
(2)由正弦定理得sin C＝eq \f(AB·sin B,AC)＝eq \f(\r(3)×\f(1,2),1)＝eq \f(\r(3),2)，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或120°，
∴A＝90°或30°，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)AB·AC·sin A＝eq \f(\r(3),2)或eq \f(\r(3),4).]
[探究问题]
1．你能用坐标法证明S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B吗？
[提示] (以已知a，b，C为例)以△ABC的顶点C为原点，射线CB的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，则顶点A的坐标为(bcs C，bsin C)．
过点A作BC边上的高AE，则根据三角函数的定义可得AE＝bsin C，所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)·BC·AE＝eq \f(1,2)·a·bsin C＝eq \f(1,2)absin C.
同理可得S＝eq \f(1,2)bcsin A，S＝eq \f(1,2)acsin B.
故S△ABC＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)acsin B.
2．应用正弦定理解三角形时经常挖掘三角形中哪些隐含条件？
[提示] (1)在△ABC中，A＋B＋C＝π⇒sin(A＋B)＝sin C，cs (A＋B)＝－cs C；eq \f(A＋B,2)＝eq \f(π,2)－eq \f(C,2)⇒sin eq \f(A＋B,2)＝cs eq \f(C,2).
(2)若△ABC为锐角三角形，则A＋B>eq \f(π,2)，A＋C>eq \f(π,2)，B＋C>eq \f(π,2)；A＋B>eq \f(π,2)⇔A>eq \f(π,2)－B⇔sin A>cs B，cs A【例3】 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝－sin 2C.
(1)求C的大小；
(2)若c＝2eq \r(3)，A＝eq \f(π,6)，求△ABC的面积.
[思路探究] (1)由m·n＝－sin 2C，利用三角恒等变换求出C的大小；
(2)由正弦定理可得b的大小利用三角形的面积公式求解．
[解] (1)由题意，m·n＝sin Acs B＋sin Bcs A＝－sin 2C，
即sin(A＋B)＝－sin 2C，sin C＝－2sin Ccs C.
由00.
所以cs C＝－eq \f(1,2).C＝eq \f(2π,3).
(2)由C＝eq \f(2π,3)，A＝eq \f(π,6)，得B＝π－A－C＝eq \f(π,6).
由正弦定理，eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
即eq \f(b,sin\f(π,6))＝eq \f(2\r(3),sin\f(2π,3))，解得b＝2.
所以△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)×sin eq \f(π,6)＝eq \r(3).
(变条件，结论)将例题中的条件“m＝(sin A，sin B)，n＝(cs B，cs A)，m·n＝－sin 2C”换为“若a＋c＝2b,2cs 2B－8cs B＋5＝0”求角B的大小并判断△ABC的形状．
[解] ∵2cs 2B－8cs B＋5＝0，
∴2(2cs2B－1)－8cs B＋5＝0.
∴4cs2B－8cs B＋3＝0，
即(2cs B－1)(2cs B－3)＝0.
解得cs B＝eq \f(1,2)或cs B＝eq \f(3,2)(舍去)．
∵0∴B＝eq \f(π,3).
∵a＋c＝2b.
由正弦定理，
得sin A＋sin C＝2sin B＝2sin eq \f(π,3)＝eq \r(3).
∴sin A＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－A))＝eq \r(3)，
∴sin A＋sin eq \f(2π,3)cs A－cs eq \f(2π,3)sin A＝eq \r(3).
化简得eq \f(3,2)sin A＋eq \f(\r(3),2)cs A＝eq \r(3)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＋\f(π,6)))＝1.
∵0∴A＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2).
∴A＝eq \f(π,3)，C＝eq \f(π,3).
∴△ABC是等边三角形．
借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，转化为角的关系后，常利用三角变换公式进行变形、化简，确定角的大小或关系，继而判断三角形的形状、证明三角恒等式．
1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况：可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值．
2．结合正弦定理，同时注意三角形内角和定理及三角形面积公式、三角恒等变换等知识进行综合应用．
1．判断正误
(1)在△ABC中，A＝30°，a＝2，b＝2eq \r(3)，则B＝60°.( )
(2)在△ABC中，eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，但无法确定具体值．( )
(3)由两边和一角就可求三角形的面积．( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a＝1，b＝eq \r(3)，B＝60°，则△ABC的面积为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),2) C．1 D.eq \r(3)
B [∵a＝1，b＝eq \r(3)，B＝60°，
∴由正弦定理可得：sin A＝eq \f(asin B,b)＝eq \f(1×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq \f(1,2)，
∵a＜b，A＜60°，∴A＝30°，C＝180°－A－B＝90°，
∴S△ABC＝eq \f(1,2)ab＝eq \f(1,2)×1×eq \r(3)＝eq \f(\r(3),2).故选B.]
3．在△ABC中，A＝eq \f(2π,3)，a＝eq \r(3)c，则eq \f(b,c)＝ .
1 [由eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)得sin C＝eq \f(csin A,a)＝eq \f(1,\r(3))×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(1,2)，
又04．在△ABC中，若b＝5，B＝eq \f(π,4)，tan A＝2，则sin A＝ ，a＝ .
eq \f(2\r(5),5) 2eq \r(10) [由tan A＝2，得sin A＝2cs A，
由sin2A＋cs2A＝1，得sin A＝eq \f(2\r(5),5)，
∵b＝5，B＝eq \f(π,4)，
由正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，
得a＝eq \f(bsin A,sin B)＝eq \f(2\r(5),\f(\r(2),2))＝2eq \r(10).]
5．在△ABC中，若a∶b∶c＝1∶3∶5，求eq \f(2sin A－sin B,sin C)的值．
[解] 由条件得eq \f(a,c)＝eq \f(sin A,sin C)＝eq \f(1,5)，∴sin A＝eq \f(1,5)sin C.
同理可得sin B＝eq \f(3,5)sin C.
∴eq \f(2sin A－sin B,sin C)＝eq \f(2×\f(1,5)sin C－\f(3,5)sin C,sin C)＝－eq \f(1,5).
学 习 目 标
核 心 素 养
1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式，解决三角形中的问题．(重点)
2．能根据条件，判断三角形解的个数．
3．能利用正弦定理、三角恒等变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．(难点)
1.通过三角形个数判断的学习，体现了数学运算和逻辑推理的素养．
2．借助求解三角形面积及正弦定理的综合应用，提升数学运算素养.
三角形解的个数的判断
三角形的面积
正弦定理的综合应用