数学必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积第2课时导学案

第2课时　球的表面积和体积

1．球的表面积

设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍．

思考：球有底面吗？球面能展开成平面图形吗？

[提示]　球没有底面，球的表面不能展开成平面图形．

2．球的体积

设球的半径为R，则球的体积V＝πR3.

1．若球的过球心的圆面的周长是C，则这个球的表面积是(　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D．2πC2

C　[由2πR＝C，得R＝，所以S球面＝4πR2＝.]

2．表面积为4π的球的半径是        ．

1　[设球的半径为R，则S＝4πR2＝4π，得R＝1.]

3. 若一个球的体积为36π，则它的表面积为        ．

36π　[由πR3＝36π，可得R＝3，因此其表面积S＝36π.]

4．两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是        ．

　[设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，R3＝2，∴R＝.]

【例1】　(1)已知球的表面积为64π，求它的体积；

(2)已知球的体积为π，求它的表面积．

[解]　(1)设球的半径为r，则由已知得

4πr2＝64π，r＝4.

所以球的体积：V＝×π×r3＝π.

(2)设球的半径为R，由已知得

πR3＝π，所以R＝5，

所以球的表面积为：S＝4πR2＝4π×52＝100π.

求球的表面积与体积的一个关键和两个结论

(1)关键：把握住球的表面积公式S球＝4πR2，球的体积公式V球＝πR3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件．把握住公式，球的体积与表面积计算的相关题目也就迎刃而解了．

(2)两个结论：①两个球的表面积之比等于这两个球的半径比的平方；②两个球的体积之比等于这两个球的半径比的立方．

1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为        ．

4∶9　[根据球的体积及表面积公式可知，两个球的体积之比等于半径之比的立方，表面积的比等于半径之比的平方，因为两个球的体积之比为8∶27，所以两个球的半径之比为2∶3，所以两个球的表面积的比为4∶9. ]

【例2】　(1)平面α截球O的球面所得圆的半径为1. 球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A.π　　　B．4π　　　C．4π　　　D．6π

(2)已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为        ．

(1)B　(2)1或7　[(1)如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝，O′M＝1，∴OM＝＝，即球的半径为，∴V＝π()3＝4π.

(2)若两个平行截面在球心同侧，如图①，则两个截面间的距离为－＝1；

若两个平行截面在球心异侧，如图②，则两个截面间的距离为＋＝7.]

①　　　　　   ②

1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决．

2．注意一个直角三角形，即由球心距(球心到截面圆心的距离)、截面圆的半径、球的半径围成一个直角三角形，满足勾股定理．

2．已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M. 若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于        ．

16π　[如图，圆M面积为3π， 则圆M半径MB为，OA＝2，则球O的表面积等于4π×22＝16π.

]

[探究问题]

1．若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其外接球半径R与三条棱长有何关系？

[提示]　2R＝.

2．棱长为a的正方体的外接球，其半径R与棱长a有何数量关系？其内切球呢？

[提示]　外接球半径R＝a；内切球半径R＝a.

3．若一球与正方体的12条棱相切，则球半径R与棱长a有何数量关系？

[提示]　R＝a.

【例3】　(1)一球与棱长为2的正方体的各个面相切，则该球的体积为        .

(2)正方体的全面积是a2，它的顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是        ．

(1) π　(2) 　[(1)由题意可知球是正方体的内切球，因此球的半径为1，其体积为π.

(2)正方体内接于球，则由球及正方体都是中心对称图形知，它们的中心重合．可见，正方体的对角线是球的直径．设球的半径是r，则正方体的对角线长是2r.依题意，2r＝·，即r2＝a2，所以S球＝4πr2＝4π·a2＝. ]

1．将本例(1)变为：长方体的一个顶点处的三条棱长分别是，，，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上，这个球的表面积是(　　)

A．12π　　　B. 18π　　　C．36π　　　D. 6π

A　[由题意可知，该长方体的体对角线即为球的直径，其长度为2，从而球的半径为，球表面积为12π.]

2．将本例(1)变为：圆柱内接于球，圆柱的底面半径为3，高为8，则球的表面积为        ．

100π　[如图，由条件知，O1A＝3，OO1＝4，所以OA＝5，所以球的表面积为100π.

]

常见的几何体与球的切、接问题的解决策略：

(1)处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总在几何体的特殊位置，比如中心、对角线的中点等．

(2)解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．

1．球的表面积、体积基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要方法．

2．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图．

1．判断正误

(1)球的体积之比等于半径比的平方．(　　)

(2)球面展开一定是圆形的平面．(　　)

(3)长方体既有外接球又有内切球．(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为        ．

3π　[由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面面积的和，即×4π＋π＝3π.]

3．一个正方体的八个顶点都在体积为π的球面上，则正方体的表面积为        ．

8　[设球的半径为R，正方体的棱长为a，

则πR3＝π，故R＝1，由a＝2R＝2，所以a＝，所以正方体的表面积为S＝6a2＝6×＝8.]

4．(1)已知球的直径为2，求它的表面积和体积；

(2)已知球的体积为，求它的表面积．

[解]　(1)由R＝1，所以S球＝4πR2＝4π，V＝πR3＝π.

(2)由V＝πR3＝π，

所以R＝3，所以S＝4πR2＝36π.