高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系学案设计

8.5　空间直线、平面的平行

8.5.1　直线与直线平行

8.5.2　直线与平面平行

1．基本事实4

文字表述：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

符号表述：⇒a∥c.

2．等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．直线与平面平行的判定及性质

思考：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线和这个平面平行，对吗？

[提示]　根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误．

1．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于(　　)

A．30°　　　　　　  B．30°或150°

C．150°   D．以上结论都不对

B　[因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°，所以∠PQR＝30°或150°.]

2．下列条件中能确定直线a与平面α平行的是(　　)

A．a⊄α，b⊂α，a∥b

B．b⊂α，a∥b

C．b⊂α，c⊂α，a∥b，a∥c

D．b⊂α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

A　[由直线与平面平行的判定定理知选A.]

3．已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线有___________条．

1　[如图所示，

∵l∥平面α，P∈α，

∴直线l与点P确定一个平面β，α∩β＝m，

∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的．]

【例1】　如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；

(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.

[思路探究]　(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用等角定理证明或利用三角形全等证明．

[解]　(1)∵ABCD­A1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴MM1＝AA1且MM1∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1＝CM.

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

1．空间两条直线平行的证明

一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；

三是利用基本事实4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

2．求证角相等

一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．

1．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.

[证明]　(1)在△ABD中，

∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.

同理FG∥BD，则EH∥FG.

故E，F，G，H四点共面．

(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.

又∵四边形EFGH是矩形，

∴EH⊥GH.故AC⊥BD.

【例2】　如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．

求证：(1)EH∥平面BCD；

(2)BD∥平面EFGH.

[思路探究]　(1)要证EH∥平面BCD，只要证EH∥BD便可；

(2)要证BD∥平面EFGH，只要证BD∥EH便可．

[解]　(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.

∵EH⊄平面BCD，BD⊂平面BCD，

∴EH∥平面BCD.

(2)∵BD∥EH，BD⊄平面EFGH，EH⊂平面EFGH，

∴BD∥平面EFGH.

1．利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线．

2．证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、基本事实4等．

2．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.

[证明]　如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.

∵EA＝BD，AP＝DQ，

∴EP＝BQ.

又∵AB＝CD，∴PM綊QN，

∴四边形PMNQ是平行四边形，∴PQ∥MN.

又∵PQ⊄平面CBE，MN⊂平面CBE，

∴PQ∥平面CBE.

[探究问题]

1．若直线l∥平面α，则l平行于平面α内的所有直线吗？

[提示]　不是．

2．若a∥α，过a与α相交的平面有多少个？这些平面与α的交线与直线a有什么关系？

[提示]　若a∥α，则过a且与α相交的平面有无数个．这些平面与α的交线与直线a之间相互平行．

【例3】　求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

[思路探究]　先写出已知求证，再借助线面平行的性质定理求解．

[解]　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.

求证：a∥l.

证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，

∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，

∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.又∵b⊄β，c⊂β，∴b∥β.

又∵b⊂α，α∩β＝l，∴b∥l.

又∵a∥b，∴a∥l.

若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行．

[解]　已知：a∥b，a⊂α，b⊂β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.

证明：如图所示，∵a∥b，b⊂β，a⊄β，

∴a∥β，

又a⊂α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，

∴a∥b∥l.

线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行．利用线面平行的性质定理解题的具体步骤：(1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面；(2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面；(3)确定交线；(4)由性质定理得出线线平行的结论．

证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“见了已知想性质，见了求证想判定”，也就是说“发现已知，转化结论，沟通已知与未知的关系”．这是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段．

1．判断正误

(1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等．(　　)

(2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等．(　　)

(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补．(　　)

(4)如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)

A．一条直线不相交

B．两条直线不相交

C．无数条直线不相交

D．任意一条直线不相交

D　[直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点．]

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝        .

135°　[由等角定理可知β＝135°.]

4．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是        ．

平行或相交或b在α内　[如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面ABCD为α，A1B1为a，则a∥α，当分别取EF，BC1，BC为b时，均满足a与b异面，于是b∥α，b∩α＝B，b⊂α(其中E，F为棱的中点)．]

5．过正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.

[证明]如图所示，∵CC1∥BB1，

∴CC1∥平面BEE1B1.

又∵平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1，

∴CC1∥EE1.

由于CC1∥BB1，∴BB1∥EE1.