高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积导学案

8.3　简单几何体的表面积与体积

8.3.1　棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．

2．棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；

棱锥的体积公式V＝Sh(S为底面面积，h为高)；

棱台的体积公式V＝h(S′＋＋S)．其中，台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h.

思考：简单组合体分割成几个几何体，其表面积不变吗？其体积呢？

[提示]　表面积变大了，而体积不变．

1．棱长为3的正方体的表面积为(　　)

A．27　　　B．64　　　C．54　　　D．36

C　[根据表面积的定义，组成正方体的面共6个，且每个都是边长为3的正方形．从而，其表面积为6×32＝54.]

2．长方体同一顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则长方体的体积与表面积分别为(　　)

A．6,22   B．3,22  C．6,11   D．3,11

A　[V＝1×2×3＝6，S＝2(1×2)＋2(1×3)＋2(2×3)＝22.]

3．棱长都是3的三棱锥的表面积S为        ．

9　[因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以S＝4××32＝9.]

【例1】　现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积．

[解]　如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，对角线A1C＝15，B1D＝9，

∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，

∴a2＝200，b2＝56.

∵该直四棱柱的底面是菱形，

∴AB2＝＋＝＝＝64，

∴AB＝8.

∴直四棱柱的侧面积S＝4×8×5＝160.

求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．

1．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　)

A.a2　　　　　 B.a2

C.a2   D.a2

A　[∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于a，

∴S表＝a2＋3××＝a2.]

【例2】　三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．

[解]　设三棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.

∴VA1­ABC＝S△ABC·h＝Sh，

VC­A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.

又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，

∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－VC­A1B1C1

＝Sh－－＝Sh，

∴体积比为1∶2∶4.

求几何体体积的常用方法

2．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1­EDF的体积为        ．

　[利用三棱锥的体积公式直接求解．

VD1­EDF＝VF­DD1E＝S△D1DE·AB＝××1×1×1＝.]

【例3】　已知正四棱台(上、下底是正方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的侧面积．

[解]　如图，E，E1分别是BC，B1C1的中点，O，O1分别是下、上底面正方形的中心，则O1O为正四棱台的高，则O1O＝12.

连接OE，O1E1，

则OE＝AB＝×12＝6，

O1E1＝A1B1＝3.

过E1作E1H⊥OE，垂足为H，

则E1H＝O1O＝12，OH＝O1E1＝3，

HE＝OE－O1E1＝6－3＝3.

在Rt△E1HE中，

E1E2＝E1H2＋HE2＝122＋32＝32×17，

所以E1E＝3.

所以S侧＝4××(B1C1＋BC)×E1E

＝2×(6＋12)×3＝108.

在本例中，把棱台还原成棱锥，你能利用棱锥的有关知识求解吗？

[解]　如图，正四棱台的侧棱延长交于一点P.

取B1C1，BC的中点E1，E，则EE1的延长线必过P点(以后可以证明)．O1，O分别是正方形A1B1C1D1与正方形ABCD的中心．由正棱锥的定义，CC1的延长线过P点，

且有O1E1＝A1B1＝3，OE＝AB＝6，

则有＝＝，

即＝.所以PO1＝O1O＝12.

在Rt△PO1E1中，

PE＝PO＋O1E＝122＋32＝32×17，

在Rt△POE中，

PE2＝PO2＋OE2＝242＋62＝62×17，

所以E1E＝PE－PE1＝6－3＝3.

所以S侧＝4××(BC＋B1C1)×E1E

＝2×(12＋6)×3＝108.

解决有关正棱台的问题时，常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中去解决；二是把正棱台还原成正棱锥，利用正棱锥的有关知识来解决．

1．棱柱、棱锥、棱台的表面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段的长，是掌握它们的表面积有关问题的关键．

2．计算棱柱、棱锥、棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．

3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．

1．判断正误

(1)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)

(2)台体的体积，可转化为两个锥体体积之差．(　　)

(3)正方体的表面积为96，则正方体的体积为64.(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√

2．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1­ACD的体积是(　　)

A.　　　　　　　　 B.

C.   D．1

A　[三棱锥D1­ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝×＝.]

3．已知高为3的棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形(如图)，则三棱锥B1­ABC的体积为(　　)

A.   B.

C.   D.

[答案]　D

4．把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为        ．

18a2　[原正方体的棱长为a，切成的27个小正方体的棱长为a，每个小正方体的表面积S1＝a2×6＝a2，所以27个小正方体的表面积是a2×27＝18a2.]

5．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.

[解]　三棱锥的体积V＝Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．

故V＝S△PAC·PB＝××2×4×3＝4.