人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率本章综合与测试导学案

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【例1】 (1)下列命题：①将一枚硬币抛两次，设事件M：“两次出现正面”，事件N：“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A∪B为必然事件，其中，真命题是( )
A．①②④ B．②④
C．③④ D．①②
(2)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
(1)B [对①，一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②，对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③，互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④，事件A，B为对立事件，则一次试验中A，B一定有一个要发生，故④正确．故选B.]
(2)[解] ①P(A)＝eq \f(1,1 000)，P(B)＝eq \f(10,1 000)＝eq \f(1,100)，P(C)＝eq \f(50,1 000)＝eq \f(1,20).
故事件A，B，C的概率分别为eq \f(1,1 000)，eq \f(1,100)，eq \f(1,20).
②1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A∪B∪C. ∵A，B，C两两互斥，
∴P(M)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(1＋10＋50,1 000)＝eq \f(61,1 000).
故1张奖券的中奖概率为eq \f(61,1 000).
③设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P(N)＝1－P(A∪B)＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,1 000)＋\f(1,100)))＝eq \f(989,1 000).
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为eq \f(989,1 000).
求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
1．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是eq \f(1,3)，得到黑球或黄球的概率是eq \f(5,12)，得到黄球或绿球的概率也是eq \f(5,12)，试求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多少？
[解] 法一：从袋中选取一个球，记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A，B，C，D，则有P(A)＝eq \f(1,3)，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)，
P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq \f(5,12)，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3)，
解得P(B)＝eq \f(1,4)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,4)，因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq \f(1,4)，eq \f(1,6)，eq \f(1,4).
法二：设红球有n个，则eq \f(n,12)＝eq \f(1,3)，所以n＝4，即红球有4个．
又得到黑球或黄球的概率是eq \f(5,12)，所以黑球和黄球共5个．
又总球数是12，所以绿球有12－4－5＝3(个)．
又得到黄球或绿球的概率也是eq \f(5,12)，所以黄球和绿球共5个，而绿球有3个，
所以黄球有5－3＝2(个)．所以黑球有12－4－3－2＝3(个)．
因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是eq \f(3,12)＝eq \f(1,4)，eq \f(2,12)＝eq \f(1,6)，eq \f(3,12)＝eq \f(1,4).
【例2】 袋中有形状、大小都相同的4个小球，
(1)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，求这2只球颜色不同的概率；
(2)若4个小球颜色相同，标号分别为1,2,3,4，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率；
(3)若4个小球中有1只白球，1只红球，2只黄球，有放回地取球，取两次，求两次取得球的颜色相同的概率．
[解] (1)设取出的2只球颜色不同为事件A.
试验的样本空间Ω＝ {(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄2)}，共6个样本点，事件A包含5个样本点，故P(A)＝eq \f(5,6).
(2)试验的样本空间Ω＝ {(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，设标号和为奇数为事件A，则A包含的样本点为(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4个，
所以P(A)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3).
(3)试验的样本空间Ω＝ {(白，白)，(白，红)，(白，黄1)，(白，黄2)，(红，红)，(红，白)，(红，黄1)，(红，黄2)，(黄1，黄1)，(黄1，白)，(黄1，红)，(黄1，黄2)，(黄2，黄2)，(黄2，白)，(黄2，红)，(黄2，黄1)}，共16个样本点，其中颜色相同的有6个，故所求概率为P＝eq \f(6,16)＝eq \f(3,8).
求古典概型的概率的关键是求试验的样本点的总数和事件A包含的样本点的个数，这就需要正确求出试验的样本空间，样本空间的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．
2．设连续掷两次骰子得到的点数分别为m，n，
令平面向量a＝(m，n)，b＝(1，－3)．
(1)求使得事件“a⊥b”发生的概率；
(2)求使得事件“|a|≤|b|”发生的概率．
[解] (1)由题意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}，故(m，n)所有可能的取法共36种．
a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2种：(3,1)，(6,2)，
所以事件a⊥b的概率为eq \f(2,36)＝eq \f(1,18).
(2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10，共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6种，其概率为eq \f(6,36)＝eq \f(1,6).
【例3】 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1到5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．
(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；
(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“X≥2”的事件概率．
[解] (1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，观众甲选出3名歌手的样本空间Ω＝{(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)}，事件A包含2个样本点，则P(A)＝eq \f(2,3)，
设B表示事件“观众乙选中3号歌手”， 观众乙选出3名歌手的样本空间
Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，事件B包含6个样本点，则P(B)＝eq \f(6,10)＝eq \f(3,5).
∵事件A与B相互独立，A与eq \x\t(B)相互独立，则A·eq \x\t(B)表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”．∴P(Aeq \x\t(B))＝P(A)·P(eq \x\t(B))＝P(A)·[1－P(B)]＝eq \f(2,3)×eq \f(2,5)＝eq \f(4,15).
即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是eq \f(4,15).
(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝P(B)＝eq \f(3,5)，
依题意，A，B，C相互独立，eq \x\t(A)，eq \x\t(B)，eq \x\t(C)相互独立，
且ABeq \x\t(C)，Aeq \x\t(B)C，eq \x\t(A)BC，ABC彼此互斥．
又P(X＝2)＝P(ABeq \x\t(C))＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(eq \x\t(A)BC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(2,5)＋eq \f(2,3)×eq \f(2,5)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(33,75)，
P(X＝3)＝P(ABC)＝eq \f(2,3)×eq \f(3,5)×eq \f(3,5)＝eq \f(18,75)，
∴P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq \f(33,75)＋eq \f(18,75)＝eq \f(17,25).
相互独立事件中求复杂事件概率的解题思路
(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥的简单事件的和．
(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．
(3)代入概率的积、和公式求解．
3．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数为奇数”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )
A.eq \f(5,12) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(7,12) D.eq \f(3,4)
D [P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(1,2)，P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,2).
A，B中至少有一件发生的概率为1－P(eq \x\t(A))·P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(1,2)×eq \f(1,2)＝eq \f(3,4)，故选D.]
【例4】 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，…，[80,90)，[90,100]．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．
[解] (1)因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.
(2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.
(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；
受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2.
从这5名受访职工中随机抽取2人，试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共10个样本点．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即(B1，B2)，故所求的概率为eq \f(1,10).
破解概率与统计图表综合问题的三个步骤
第一步：会读图，能读懂已知统计图表所隐含的信息，并会进行信息提取．
第二步：会转化，对文字语言较多的题目，需要根据题目信息耐心阅读，步步实现文字语言与符号语言间的转化．
第三步：会运算，对统计图表所反馈的信息进行提取后，结合古典概型的概率公式进行运算．
4．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．
(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；
(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．
[解] (1)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq \f(6,50＋150＋100)＝eq \f(1,50)，
所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq \f(1,50)＝1,150×eq \f(1,50)＝3,100×eq \f(1,50)＝2.
所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.
(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.
则从6件样品中抽取2件商品，试验的样本空间Ω＝{(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个样本点．
每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．
记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有：(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝eq \f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq \f(4,15).
随机事件的关系与性质
古典概型
相互独立事件的概率
概率统计的综合应用
地区
A
B
C
数量
50
150
100