数学6.4 平面向量的应用教案

课程目标

学科素养

A.通过平行四边形这个几何模型,归纳总结出用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

B.明确平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；

C.让学生深刻理解向量在处理平面几何问题中的优越性.

1.数学抽象：平面几何图形中的有关性质,如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；

2.逻辑推理：用向量方法解决平面几何的问题的”三步曲”；

3.数学运算：向量的线性运算及数量积表示；

4. 直观想象：向量在处理平面几何问题中的优越性；

5. 数学建模：通过向量运算的学习理解和体验实际问题抽象为数学概念的过程和思想，增强数学的应用意识。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、复习回顾，情境引入

1.  向量的三角形法则

。

特点:首尾相接，连首尾。

向量的平行四边形法则

特点:同一起点,对角线。

2.向量减法的三角形法则

。

特点：共起点，连终点，方向指向被减向量。

3.平面向量的夹角公式

4.模

5.共线向量定理

6.由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题．

二、探索新知

例1.如图6.4-1，DE是的中位线，用向量方法证明：.

思考：运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？

“三步曲”：

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

例2.如图，已知平行四边形ABCD，你能发现对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗？

通过复习前几节所学知识，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。

通过例题让学生了解用向量方法证明几何问题，提高学生的解决问题、分析问题的能力。

通过思考，总结用向量方法做几何问题的步骤，提高学生分析问题、概括问题的能力。

通过例题进一步熟悉向量的工具作用，提高学生用向量解决几何知识解决问题的能力。

三、达标检测

1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为(　　)

A．钝角三角形   B．直角三角形

C．锐角三角形   D．不能确定

答案　A

2．在直角三角形ABC中，斜边BC长为2，O是平面ABC内一点，点P满足＝＋(＋)，则||等于(　　)

A．2  B．1  C.  D．4

答案　B

解析　∵＝＋(＋)，

∴－＝(＋)，＝(＋)，

∴AP为Rt△ABC斜边BC的中线．∴||＝1.

3.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．

答案　22

解析　由＝3，得＝＝，＝＋＝＋，＝－＝＋－＝－.因为·＝2，所以·＝2，即2－·－2＝2.又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.

4．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．

答案　2

解析　∵O是BC的中点，∴＝(＋)．

又∵＝m，＝n，∴＝＋.

又∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，则m＋n＝2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1. 向量的有关知识；2.用向量解决几何问题的步骤；

五、作业

习题6.4  1,3题

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。