高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直教学设计及反思

【新教材】8.6.1 直线与直线垂直（人教A版）

直线与直线垂直是所有垂直关系的基础，在初中已经学过矩形，直角三角形等垂直关系，本节教材重点介绍了异面直线所成角，对平面中直线与直线的垂直关系进一步深化.也为后续线面垂直、面面垂直打下基础.

课程目标

1. 理解两异面直线的定义,会求两异面直线所成的角；

2. 进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.

数学学科素养

1. 逻辑推理：找两异面直线所成角，证明两直线垂直.

2．数学运算：求两异面直线所成角

重点：求两异面直线所成角.

难点：求两异面直线所成角.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

观察长方体，你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本146-148页，思考并完成以下问题

1、什么是异面直线所成角？

2、异面直线所成角的范围是多少？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.异面直线所成的角

(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′∥a,b′∥b,则a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)异面直线所成的角θ的取值范围:0°<θ≤90°.

(3)如果两条异面直线a,b所成的角是直角,就说这两条直线互相垂直,记作a⊥b.

四、典例分析、举一反三

题型一  证明两直线垂直

例1如图，在正方体中，为底面的中心.求证

【答案】见解析

【解析】如图所示：连接，是正方体.

∴四边形是平行四边形.

∴直线与所成的角即为直线与所成的角.

连接，易证.又为底面的中心，

为的中点

解题技巧（证明两直线垂直的常用方法）

(1)利用平面几何的结论,如矩形,等腰三角形的三线合一，勾股定理;

(2)定义法:即证明两条直线夹角是90°;

(3)利用一些事实:两条平行直线，若其中一条直线垂直另一条直线,则其平行线也垂直此直线.

跟踪训练一

1．如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：.

。

【答案】见解析.

【解析】 如图，取AB的中点D，连接CD、DP，

∵P为的中点，.

又∵Q为的中点，，

.

∴四边形CDPQ为平行四边形，.

又，D为AB的中点，.

题型二  求异面直线所成的角

例2 如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO⊥OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线AB与CD所成角的余弦值.

【答案】.

【解析】取AC的中点M,

连接OM,ME,OE,

由E为BC的中点知ME∥AB,

由O为BD中点知OE∥DC,

所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中,EM=AB=,OE=DC=1,

因为OM是Rt△AOC斜边AC上的中线,

所以OM=AC=1,

取EM的中点H,连OH,则OH⊥EM,

在Rt△OEH中,所以cos∠OEM===.

解题技巧 (求异面直线所成角的一般步骤)

求异面直线所成角的一般步骤:

    (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线.

    (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.

(3)结论——设(2)所求角大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ即为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ即为所求

跟踪训练二

1、如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,若EF=,求异面直线AD,BC所成角的大小.

【答案】60°．

【解析】如图,取BD的中点M,连接EM,FM.

因为E,F分别是AB,CD的中点,

所以EMAD,FMBC,

则∠EMF或其补角就是异面直线AD,BC所成的角.

因为AD=BC=2,

所以EM=MF=1,

在等腰△MEF中,过点M作MH⊥EF于H,

在Rt△MHE中,EM=1,EH=EF=,则sin∠EMH=,

于是∠EMH=60°,

则∠EMF=2∠EMH=120°.

所以异面直线AD,BC所成的角为∠EMF的补角,

即异面直线AD,BC所成的角为60°.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本148页练习，162页11题.

本节课的重点是通过将异面直线平移至同一平面求异面直线所成角，学生做题的时候注意：①确定两条直线所在图形的特点；②所求角是夹角还是补角.