高中人教A版 (2019)9.2 用样本估计总体教案及反思

【新教材】9.2.2 总体百分数的估计

 教学设计（人教A版）

本节是主要介绍总体百分数的估计方法，即借助具体数据、频率分布直方图、频率分布直方表估计总体百分数，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生体会估计总体百分数的意义.

课程目标

1.理解百分位数的统计含义．

2.会求样本数据的第p百分位数.

数学学科素养

1．数学抽象：百分位数的统计含义；

2．数学运算：求样本数据的第p百分位数.

重点：①百分位数的统计含义；②求样本数据的第p百分位数.

难点：求样本数据的第p百分位数.

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本201-203页，思考并完成以下问题

1、第p百分位数定义是什么？

2、计算第p百分位数的步骤？

3、第p百分位数含有哪些常用的四分位？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

1.第p百分位数的定义

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

2.计算第p百分位数的步骤

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i ＝n×p%.

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

3.四分位数

常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．

四、典例分析、举一反三

题型一  百分位数在具体数据中的应用

例1  有一样本的数据为3310,3355,3450,3480,3490,3520,3540,3550,3650,3730,3925,求这组数据的第50百分位数和第75百分位数.

【答案】第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.

【解析】(1)∵i=50%×11=5.5,

∴第50百分位数是第6项的值3520.

(2)∵i=0.75×11== 8.25,

∴第75百分位数是第9项的值,即3650.所以第50百分位数和第75百分位数分别为3520,3650.

解题技巧（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）

第1步,按从小到大排列原始数据.

第2步,计算i=n×p%.

第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.

跟踪训练一

1.　某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入高中以来，每次数   学考试成绩情况如下：

甲：95,81,75,91,86,89,71,65,76,88,94,110,107.

乙：83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,78,106,101.

计算出学生甲、乙的第25,50的百分位数．

【答案】学生甲的第25,50的百分位数为76,88.学生乙的第25,50的百分位数为86,98.

【解析】把甲、乙两名学生的数学成绩从小到大排序，可得

甲：65,71,75,76,81,86,88,89,91,94,95,107,110.

乙：78,79,83,86,88,93,98,98,99,101,103,106,114.

由13×25%＝3.25,13×50%＝6.5.

可得数据的第25,50百分位数为第4,7项数据，

即学生甲的第25,50的百分位数为76,88.

学生乙的第25,50的百分位数为86,98.

题型二  百分位数在统计表或统计图中的应用

例2　根据表1或图1，估计月均用水量的样本数据的80%和95%分位数．

表1

【答案】月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.

【解析】由表1可知，月均用水量在13.2 t以下的居民用户所占比例为

23%＋32%＋13%＋9%＝77%.

在16.2 t以下的居民用户所占的比例为

77%＋9%＝86%.

因此，80%分位数一定位于[13.2,16.2)内．由

13.2＋3×＝14.2，

可以估计月均用水量的样本数据的80%分位数约为14.2.

类似地，由

22.2＋3×＝22.95，

可以估计月均用水量的样本数据的95%分位数约为22.95.

解题技巧 (频率直方图计算百分位数的规律)

求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．

跟踪训练二

1.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下60株树木的第50百分位数和第75百分位数吗?

【答案】第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm..

【解析】 由题意知分别落在各区间上的频数为

在[80,90)上有60×0.15=9,

在[90,100)上有60×0.25=15,

在[100,110)上有60×0.3=18,

在[110,120)上有60×0.2=12,

在[120,130]上有60×0.1=6.

从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,

由100+10×=100+≈103.3;

第75百分位数一定落在区间[110,120)上,

由110+10×=110+=112.5;

综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本203页练习，214例习题9.2的1题.

本节内容，学生基本掌握，需注意的是：在频率分布表和频率分布直方图中求总体百分数，由于与原始数据相比，它们损失了一些信息．所以计算第p百分位数的值，根据累计频率先推算这个值所在的区间，再把区间内的数据看成均匀分布，估计这个值．