高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.2 事件的相互独立性教学设计

【新教材】10.2 事件的相互独立性

教学设计（人教A版）

事件的相互独立性是在已学互斥事件和对立事件基础上进一步了解事件之间的关系，及对应的概率的计算.

课程目标

1．理解两个事件相互独立的概念．

2．能进行一些与事件独立有关的概念的计算．

3.  通过对实例的分析，会进行简单的应用.

数学学科素养

1.数学抽象：两个事件相互独立的概念．

2.数学运算：与事件独立有关的概念的计算.

重点：独立事件同时发生的概率．

难点：有关独立事件发生的概率计算

教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、    情景导入

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学有放回地抽取，事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“最后一名同学抽到中将奖券”.事件A的发生会影响事件B发生的概率吗？

要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.

二、预习课本，引入新课

阅读课本246-249页，思考并完成以下问题

1. 满足什么条件两个事件是相互独立的？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究

事件A与B相互独立

对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立(mutually independent)，简称为独立．

注意（1）事件A与B是相互独立的，那么A与， 与B， 与也是否相互独立.

（2）相互独立事件同时发生的概率：P(AB)＝P(A)P(B).

四、典例分析、举一反三

题型一  相互独立事件的判断

例1一个袋子中有标号分别为1，2，3，4的4个球，除标号外没有其他差异.采用不放回方式从中任意摸球两次.设事件“第一次摸出球的标号小于3”，事件“第二次摸出球的标号小于3”，那么事件A与事件B是否相互独立？

【答案】不独立

【解析】 因为样本空间

所以,

此时

因此,事件A与事件B不独立.

解题技巧（独立事件的判断）

对于事件A，B，在一次试验中，A，B如果不能同时发生，则称A，B互斥，一次试验中，如果A，B两个事件互斥且A，B中必然有一个发生，则称A，B对立，显然A∪A为一个必然事件．A，B互斥则不能同时发生，但有可能同时不发生，两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．

跟踪训练一

1. 从一副扑克牌(去掉大、小王)中任抽一张，设A＝“抽到K”，B＝“抽到红牌”，C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？

(1)A与B；(2)C与A.

【答案】见解析.

【解析】 (1)由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．

以下考虑它们是否为相互独立事件：

抽到K的概率为P(A)＝＝

抽到红牌的概率为P(B)＝＝，故P(A)P(B)＝×＝，

事件AB为“既抽到K又抽到红牌”，即“抽到红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此A与B是相互独立事件．

(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张．抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥．由于P(A)＝≠0.P(C)＝≠0，而P(AC)＝0，所以A与C不是相互独立事件，又抽不到K不一定抽到J，故A与C并非对立事件.

题型二 相互独立事件同时发生的概率

例2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，

乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率：

（1）两人都中靶；

（2）恰好有一人中靶；

（3）两人都脱靶；

（4）至少有一人中靶.

【答案】（1）0.72  （2）0.26  （3）0.02  （4）0.98

【解析】 设“甲中靶”, “乙中靶”,则“甲脱靶”,“乙脱靶”,

由于两个人射击的结果互不影响,所以A与B相互独立,

A与,与B,与都相互独立

由已知可得,.

（1） “两人都中靶”,由事件独立性的定义

得

（2）“恰好有一人中靶” ,且与互斥

根据概率的加法公式和事件独立性定义,得

（3）事件“两人都脱靶”,

所以

（4）方法1：事件“至少有一人中靶”,且AB,与两两互斥,

所以

方法2：由于事件“至少有一人中靶”的对立事件是“两人都脱靶”

根据对立事件的性质,得事件“至少有一人中靶”的概率为

解题技巧 (相互独立事件同时发生的概率)

解决此类问题要明确互斥事件和相互独立事件的意义，若A，B相互独立，则A与B，A与B，A与B也是相互独立的，代入相互独立事件的概率公式求解．

跟踪训练二

1. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足一小时的部分按一小时计算)．有甲、乙两人来该租车点租车骑游(各租一车一次)，设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，，两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过四小时．

(1)求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率．

【答案】(1) ．(2) ．

【解析】甲、乙两人租车时间超过三小时且不超过四小时的概率分别为1－－＝.1－－＝.

(1)租车费用相同可分为租车费都为0元、2元、4元三种情况．租车费都为0元的概率为p1＝×＝，租车费都为2元的概率为p2＝×＝，租车费都为4元的概率为p3＝×＝.

所以甲、乙所付租车费用相同的概率为p＝p1＋p2＋p3＝.

(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为ξ，则“ξ＝4”表示“两人的租车费用之和为4元”，其可能的情况是甲、乙的租车费分别为①0元、4元，②2元、2元，③4元、0元．所以可得P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝，即甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为.

五、课堂小结

让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧

六、板书设计

七、作业

课本249页练习，250页习题10.2.

两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响一般地，两个事件不可能即互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的.