2022届高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和学案理含解析北师大版

这是一份2022届高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和学案理含解析北师大版，共10页。
第二节　等差数列及其前n项和
命题分析预测
学科核心素养
本节是高考的考查热点，主要考查等差数列的基本运算和性质，等差数列的通项公式和前n项和公式，尤其要注意以数学文化为背景的数列题，题型既有选择题、填空题，也有解答题．
本节通过对等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列性质的应用，考查考生对函数与方程思想的应用，提升考生的数学运算和逻辑推理核心素养．

授课提示：对应学生用书第105页
知识点一　等差数列的概念与通项
1．等差数列的概念
（1）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
数学语言表达式：an＋1－an＝d（n∈N＋，d为常数），或an－an－1＝d（n≥2，d为常数）．
（2）若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝Ｗ．
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
（1）若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋（n－1）dＷ．
通项公式的推广：an＝am＋（n－m）d（m，n∈N＋）．
（2）等差数列的前n项和公式
Sn＝＝na1＋d（其中n∈N＋，a1为首项，d为公差，an为第n项）．
• 温馨提醒 •
要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列．

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，a8＋a10＝28，则S9＝（　　）
A．36　　　　　　　　 B．72
C．144 D．288
解析：因为a8＋a10＝2a1＋16d＝28，a1＝2，所以d＝，所以S9＝9×2＋×＝72．
答案：B
2．（易错题）一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是（　　）
A．d＞ B．d＜
C．＜d＜ D．＜d≤
解析：由题意可得即
解得＜d≤．
答案：D
3．设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S8＝________．
解析：由已知可得
解得所以S8＝8a1＋d＝32．
答案：32
知识点二　等差数列的性质
　已知数列{an}是等差数列，Sn是{an}的前n项和．
（1）若m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），
则有am＋an＝ap＋aq．
（2）等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；
当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列Ｗ．
• 温馨提醒 •
三个必备结论
（1）若等差数列{an}的项数为偶数2n，则①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；②S偶－S奇＝nd，＝．
（2）若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，
则①S2n＋1＝（2n＋1）an＋1；②＝．
（3）在等差数列{an}中，若a1＞0，d＜0，则满足的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a1＜0，d＞0，则满足的项数m使得Sn取得最小值Sm．

1．（2021·吉林月考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a13＋a14＋a15＋a16＝（　　）
A．12　　　 B．8　　　　
C．20　　　 D．16
解析：∵S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，S4＝8，S8－S4＝12，∴S12－S8＝16，∴S16－S12＝20，即a13＋a14＋a15＋a16＝20．
答案：C
2．在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝（　　）
A．180 B．90
C．270 D．360
解析：由等差数列的性质，得a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝450，所以a5＝90，所以a2＋a8＝2a5＝180．
答案：A
3．（易错题）已知等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d＜0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________．
解析：由|a3|＝|a9|，d＜0，得a3＝－a9，
即a3＋a9＝0，所以a6＝＝0．
所以a5＞0，a6＝0，a7＜0．
所以当n＝5或6时，Sn取最大值．
答案：5或6

授课提示：对应学生用书第106页
题型一　等差数列的基本问题　　
1．（2021·聊城期末测试）已知{an}是公差为2的等差数列，前5项和S5＝25，若a2m＝15，则m＝（　　）
A．4　　　　　　　 B．6
C．7 D．8
解析：S5＝5a1＋×2＝25，解得a1＝1．所以a2m＝a1＋（2m－1）×2＝1＋4m－2＝15，解得m＝4．
答案：A
2．（2021·西安调研）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝（　　）
A．100 B．99
C．98 D．97
解析：设{an}的首项为a1，公差为d，则S9＝9a1＋36d＝9（a1＋4d）＝27，∴a1＋4d＝3．又∵a10＝a1＋9d＝8，∴a1＝－1，d＝1．∴a100＝a1＋99d＝98．
答案：C
3．（2019·高考全国卷Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5．
（1）若a3＝4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解析：（1）设{an}的公差为d．
由S9＝－a5得a1＋4d＝0．
由a3＝4得a1＋2d＝4．
于是a1＝8，d＝－2．
因此{an}的通项公式为an＝10－2n．
（2）由（1）得a1＝－4d，故an＝（n－5）d，
Sn＝．
由a1>0知d0，d