2022届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.4数系的扩充与复数的引入学案理含解析北师大版

第四节　数系的扩充与复数的引入

授课提示：对应学生用书第96页

知识点一　复数的有关概念及意义

1．复数的有关概念

（1）复数的概念：

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部Ｗ．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．

（2）复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）．

（3）共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）．

（4）复数的模：

向量的模r叫做复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝Ｗ．

2．复数的几何意义

（1）复数z＝a＋bi复平面内的点Z（a，b）（a，b∈R）．

（2）复数z＝a＋bi（a，b∈R）平面向量．

• 温馨提醒 •

利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R是前提条件．

1．若复数（a2－3a＋2）＋（a－1）i是纯虚数，则实数a的值为（　　）

A．1　　　 B．2　　　　

C．1或2　　　 D．－1

解析：由得a＝2．

答案：B

2．（2021·合肥市高三二检）已知复数z满足z·（1－2i）＝i（i是虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：由z·（1－2i）＝i可得z＝＝＝－＋i，则复数z在复平面内对应的点在第二象限．

答案：B

3．（易错题）若a为实数，且＝3＋i，则a＝_________．

解析：由＝3＋i，得2＋ai＝（3＋i）（1＋i）＝2＋4i，即ai＝4i，因为a为实数，所以a＝4．

答案：4

知识点二　复数的代数运算

1．复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），则

（1）加法：z1＋z2＝（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i；

（2）减法：z1－z2＝（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i；

（3）乘法：z1·z2＝（a＋bi）·（c＋di）＝（ac－bd）＋（ad＋bc）i；

（4）除法：＝＝＝＋i（c＋di≠0）．

2．复数加法的运算定律

设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：

（1）交换律：z1＋z2＝z2＋z1；

（2）结合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）Ｗ．

• 温馨提醒 •

（1）（1±i）2＝±2i；＝i；＝－i．

（2）－b＋ai＝i（a＋bi）．

（3）i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i（n∈N＋）．

（4）i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N＋）．

（5）|z|2＝||2＝z·，|z2|＝||2．

（6）|z1z2|＝|z1||z2|，＝（z2≠0），|zn|＝|z|n．

1．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋i，则|z2－2z|＝（　　）

A．0　　 B．1　　　

C．　　 D．2

解析：法一：z2－2z＝（1＋i）2－2（1＋i）＝－2，|z2－2z|＝|－2|＝2．

法二：|z2－2z|＝|（1＋i）2－2（1＋i）|＝|（1＋i）（－1＋i）|＝|1＋i||－1＋i|＝2．

答案：D

2．（2020·新高考全国卷Ⅰ）＝（　　）

A．1  B．－1 

C．i  D．－i

解析：＝＝＝－i．

答案：D

3．已知（1＋2i）＝4＋3i，则z＝_________．

解析：因为＝＝＝＝2－i，所以z＝2＋i．

答案：2＋i

授课提示：对应学生用书第97页

题型一　复数的有关概念　　

1．（2021·湘潭模拟）若复数z满足（1＋i）z＝2i，是z的共轭复数，则的虚部为（　　）

A．－i　　　 B．1　　　　

C．－1　　　 D．i

解析：由题意可知，z＝＝1＋i，故＝1－i，所以其虚部为－1．

答案：C

2．（2020·高考全国卷Ⅰ）若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝（　　）

A．0  B．1 

C．  D．2

解析：∵z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，∴|z|＝＝．

答案：C

3．（2021·衡水中学大联考）已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于（　　）

A．第一象限  B．第二象限

C．第三象限  D．第四象限

解析：z＝＝－＝－i（1＋2i）＝2－i，

即复数z在复平面内对应的点（2，－1）位于第四象限．

答案：D

1．求解复数概念相关问题的技巧

复数的分类、复数相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数有关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi（a，b∈R）的形式，再根据题意求解．

2．复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi（a，b∈R）⇔Z（a，b）⇔．

3．由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

题型二　复数的代数运算　　

[例]　（1）已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 018＝（　　）

A．1＋i　　　 B．1－i　　　　

C．i　　　 D．0

（2）（2021·兰州质检）已知i是虚数单位，若复数z满足zi＝1＋i，则z2＝（　　）

A．－2i  B．2i 

C．－2  D．2

[解析]　（1）法一：因为z＝1＋＝1＋＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝＝＝＝i．

法二：因为z＝1＋＝1＋＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝1＋i＋i2＋…＋i2 018＝504×（1＋i－1－i）＋1＋i－1＝i．

（2）法一：由z＝＝1－i，得z2＝（1－i）2＝－2i．

法二：由zi＝1＋i，得（zi）2＝（1＋i）2，则－z2＝2i，即z2＝－2i．

[答案]　（1）C　（2）A

复数代数形式运算问题的解题策略

[题组突破]

1．（2020·高考全国卷Ⅲ）若 （1＋i）＝1－i，则z＝（　　）

A．1－i  B．1＋i 

C．－i  D．i

解析：因为＝＝＝－i，所以z＝i．

答案：D

2．若z＝1＋2i，则＝（　　）

A．1  B．－1 

C．i  D．－i

解析：由z＝1＋2i，得z＝5，∴＝＝i．

答案：C

3．（2021·烟台高三下学期诊断）已知复数z＝（i为虚数单位），则z的共轭复数等于（　　）

A．－i  B．＋i

C．－i  D．＋i

解析：z＝＝＝－i，＝＋i．

答案：D

　复数运算应用中的核心素养

创新应用——复数的交汇应用问题

[例]　（1）（2021·益阳、湘潭调研）已知命题p：若复数z满足（z－i）（－i）＝5，则z＝6i，命题q：复数的虚部为－i，则下面为真命题的是（　　）

A．（非p）且（非q）　　　 B．（非p）且q

C．p且（非q）  D．p且q

（2）（2021·天津实验中学期中测试）已知复数z＝＋i是纯虚数（i为虚数单位），则tan＝_________．

[解析]　（1）由已知可得，复数z满足（z－i）（－i）＝5，

所以z＝＋i＝6i，

所以命题p为真命题；

复数＝＝，

其虚部为－，故命题q为假命题，

所以命题p且（非q）为真命题．

（2）因为cos θ－＝0，sin θ－≠0⇒cos θ＝，sin θ＝－⇒tan θ＝－，所以tan（θ－）＝＝－7．

[答案]　（1）C　（2）－7

求解复数与其他知识的交汇问题，一定要仔细运算，提升自身的数学运算素养．

[题组突破]

1．已知复数z＝x＋yi（x，y∈R）满足||≤1，则y≥x＋1的概率为（　　）

A．－  B．－

C．＋  D．＋

解析：复数z＝x＋yi（x，y∈R），||≤1，它的几何意义是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆以及内部部分．满足y≥x＋1的图像如图中圆内阴影部分所示，则概率P＝＝－．

答案：B

2．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数是（　　）

A．1－2i  B．－1＋2i

C．3＋4i  D．－3－4i

答案：D