2022届高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入4.3平面向量的数量积学案理含解析北师大版

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第三节　平面向量的数量积命题分析预测学科核心素养本节在高考中主要考查向量的数量积运算，利用向量数量积解决模长、夹角问题，平行或垂直问题，有时也会与三角函数、平面解析几何进行交汇命题，主要以小题的形式出现，难度不大．本节主要通过平面向量的数量积及其应用考查考生的数学运算、直观想象核心素养．授课提示：对应学生用书第93页知识点一　向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180°θ＝0°或θ＝180°⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b• 温馨提醒 •对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．1．若向量a，b满足|a|＝，b＝（－2，1），a·b＝5，则a与b的夹角为（　　）A．90°　　　　　　 B．60°C．45°  D．30°解析：∵b＝（－2，1），∴|b|＝＝，∵|a|＝，a·b＝5，∴cos〈a，b〉＝＝＝．又〈a，b〉∈[0，π]．∴a与b的夹角为45°．答案：C2．（易错题）已知两个非零向量a与b的夹角为θ，则“a·b>0”是“θ为锐角”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由a·b>0，可得到θ∈，不能得到θ∈；而由θ∈，可以得到a·b>0．答案：B知识点二　平面向量的数量积1．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积2．向量数量积的运算律（1）a·b＝b·a．（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a与b的夹角为θ．结论几何表示坐标表示模|a|＝|a|＝夹角cos θ＝cos θ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤• 温馨提醒 •1．数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝a·c（a≠0）不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b．3．在用|a|＝求向量的模时，一定要先求出a2再进行开方．1．已知a·b＝－12，|a|＝4，a和b的夹角为135°，则|b|为（　　）A．12  B．6C．3  D．3解析：a·b＝|a||b|cos 135°＝－12，所以|b|＝＝6．答案：B2．已知向量a＝（2，1），b＝（－1，k），a·（2a－b）＝0，则k＝_________．解析：因为2a－b＝（4，2）－（－1，k）＝（5，2－k），由a·（2a－b）＝0，得（2，1）·（5，2－k）＝0，所以10＋2－k＝0，解得k＝12．答案：123．（易错题）已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为_________．解析：由数量积的定义知，b在a方向上的投影为|b|cos θ＝4×cos 120°＝－2．答案：－24．设向量a＝（－1，2），b＝（m，1），如果向量a＋2b与2a－b平行，那么a与b的数量积等于_________．解析：a＋2b＝（－1＋2m，4），2a－b＝（－2－m，3），由题意得3（－1＋2m）－4（－2－m）＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝．答案：授课提示：对应学生用书第94页题型一　平面向量数量积的计算　　1．（2021·西安模拟）已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·（2a－b）＝（　　）A．4　　　　　　　 B．3C．2  D．0解析：因为|a|＝1，a·b＝－1，所以a·（2a－b）＝2a2－a·b＝2×1－（－1）＝3．答案：B2．（2019·高考全国卷Ⅱ）已知＝（2，3），＝（3，t），||＝1，则·＝（　　）A．－3  B．－2C．2  D．3解析：因为＝－＝（1，t－3），所以||＝＝1，解得t＝3，所以＝（1，0），所以·＝2×1＋3×0＝2．答案：C3．已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，且∠BAD＝90°，AB＝2，AD＝1．若点Q满足＝2，则·＝（　　）A．－  B．C．－  D．解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则Q，D（0，1），C（1，1），所以＝，＝，所以·＝＋1＝．答案：D4．（2019·高考天津卷）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝_________．解析：在等腰△ABE中，易得∠BAE＝∠ABE＝30°，故BE＝2，则·＝（－）·（＋）＝·＋·－2－·＝5×2×cos 30°＋5×2×cos 180°－12－2×2×cos 150°＝15－10－12＋6＝－1．答案：－1求向量a，b的数量积a·b的三种方法（1）若两向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，则需要通过平移使它们的起点重合，再计算．（2）根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a，b，然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．（3）若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出a，b的坐标，通过坐标运算求解．题型二　平面向量数量积的应用　　　　平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空题，难度适中，属中档题．常见的命题角度有：（1）平面向量的模；（2）平面向量的夹角；（3）平面向量的垂直．考法（一）　平面向量的模[例1]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设a，b为单位向量，且|a＋b|＝1，则|a－b|＝_________．（2）已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则|＋3|的最小值为_________．[解析]　（1）将|a＋b|＝1两边平方得a2＋2a·b＋b2＝1．∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1．∴|a－b|＝＝＝＝．（2）建立平面直角坐标系如图所示，则A（2，0），设P（0，y），C（0，b），则B（1，b），则＋3＝（2，－y）＋3（1，b－y）＝（5，3b－4y）．所以|＋3|＝（0≤y≤b）．当y＝b时，|＋3|min＝5．[答案]　（1）　（2）51．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：（1）a2＝a·a＝|a|2或|a|＝．（2）|a±b|＝＝．（3）若a＝（x，y），则|a|＝．2．与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用．考法（二）　平面向量的夹角[例2]　（1）（2019·高考全国卷Ⅲ）已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝　　　　；（2）已知向量a＝（λ，－6），b＝（－1，2），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是_________．[解析]　（1）由题意，得cos〈a，c〉＝＝＝＝．（2）∵向量a与b的夹角为钝角，∴a·b＝（λ，－6）·（－1，2）＝－λ－12<0，解得λ>－12．当a与b共线时，设a＝kb（k<0），可得解得即当λ＝3时，向量a与b共线且反向，此时a·b<0，但a与b的夹角不是钝角．综上，λ的取值范围是（－12，3）∪（3，＋∞）．[答案]　（1）　（2）（－12，3）∪（3，＋∞）向量夹角问题的两个注意点（1）切记向量夹角的范围是[0，π]．（2）非零向量a与b夹角为锐角⇔a·b>0且a与b不共线；非零向量a与b夹角为钝角⇔a·b<0且a与b不共线．考法（三）　平面向量的垂直[例3]　（1）（2020·高考全国卷Ⅰ）设向量a＝（1，－1），b＝（m＋1，2m－4），若a⊥b，则m＝_________．（2）已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2．若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为_________．[解析]　（1）∵a⊥b，∴a·b＝0．又a＝（1，－1），b＝（m＋1，2m－4），∴1×（m＋1）＋（－1）×（2m－4）＝0，解得m＝5．（2）因为⊥，所以·＝0．又＝λ＋，＝－，所以（λ＋）·（－）＝0，即（λ－1）·－λ2＋2＝0，所以（λ－1）||||cos 120°－9λ＋4＝0，所以（λ－1）×3×2×－9λ＋4＝0，解得λ＝．[答案]　（1）5　（2）1．当向量a与b是坐标形式时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．2．当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示，且不共线的向量要知道其模与夹角，进行运算证明a·b＝0．[题组突破]1．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a与b的夹角为120°，|b|＝2|a|，则a与c的夹角为（　　）A．60°　　　 B．150°　　　C．120°　　　 D．90°解析：由a＋b＋c＝0，得c＝－（a＋b），所以a·c＝－a·（a＋b）＝－|a|2－a·b＝－|a|2－2|a|2cos 120°＝－|a|2＋|a|2＝0．故夹角为90°．答案：D2．（2020·高考全国卷Ⅱ）已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝_________．解析：由题意知（ka－b）·a＝0，即ka2－b·a＝0．因为a，b为单位向量，且夹角为45°，所以k×12－1×1×＝0，解得k＝．答案：　平面向量数量积应用中的核心素养数学运算——向量问题坐标化应用[例]　如图所示，已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，该矩形所在的平面内一点P满足||＝1，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则（　　）A．存在点P，使得I1＝I2B．存在点P，使得I1＝I3C．对任意的点P，有I2＞I1D．对任意的点P，有I3＞I1[解析]　以C为原点，以CD，CB所在直线为x轴，y轴负半轴建立平面直角坐标系（图略），则A（－3，－2），B（0，－2），D（－3，0），＝（3，0），＝（3，2），＝（0，2）．∵||＝1，可设P（cos α，sin α），∴＝（cos α＋3，sin α＋2），∴I1＝·＝3cos α＋9，I2＝·＝3cos α＋2sin α＋13，I3＝·＝2sin α＋4，∴I2－I1＝2sin α＋4＞0，I2＞I1，A错误，C正确；I3－I1＝－5＋2sin α－3cos α＝－5＋sin（α＋φ）＜0，I3＜I1，B错误，D错误．[答案]　C向量具有代数和几何的双重特征，比如向量运算的平行四边形法则、三角形法则、平面向量基本定理等都可以认为是从几何的角度来研究向量的特征；而引入坐标后，就可以通过代数运算来研究向量，凸显出了向量的代数特征，为用代数的方法研究向量问题奠定了基础．在处理很多与向量有关的问题时，坐标化是一种常见的思路，利用坐标可以使许多问题的解决变得更加简捷．[对点训练]△ABC中，A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足＝λ，＝（1－λ）．若·＝－2，则λ＝（　　）A．　　　　　　　 B．C．  D．2解析：以点A为坐标原点，以的方向为x轴的正方向，以的方向为y轴的正方向，建立如图所示平面直角坐标系，由题知B（2，0），C（0，1），P（2λ，0），Q（0，1－λ），＝（－2，1－λ），＝（2λ，－1）．∵·＝－2．∴1＋3λ＝2，解得λ＝．答案：A