2022届高考数学一轮复习第七章立体几何7.3空间点直线平面之间的位置关系学案理含解析北师大版

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系

授课提示：对应学生用书第143页

知识点一　平面的基本性质及推理

1．平面的基本性质

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

2．公理2的三个推论

推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；

推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；

推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．

• 温馨提醒 •

异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．

1．下列命题中正确的是（　　）

A．过三点确定一个平面

B．四边形是平面图形

C．三条直线两两相交则确定一个平面

D．两个相交平面把空间分成四个区域

解析：对于A，过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；对于B，四边形也可能是空间四边形，不一定是平面图形，故B错误；对于C，三条直线两两相交，可以确定一个平面或三个平面，故C错误；对于D，平面是无限延展的，两个相交平面把空间分成四个区域，故D正确．

答案：D

2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是（　　）

解析：A，B，C图中四点一定共面，D图中四点不共面．

答案：D

知识点二　空间中两直线的位置关系

　（1）空间中两直线的位置关系

（2）异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

②范围：Ｗ．

（3）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（4）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补Ｗ．

• 温馨提醒 •

过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．

1．（2021·济宁调研）若直线a不平行于平面α，且a⃘α，则下列结论成立的是（　　）

A．α内的所有直线与a异面

B．α内不存在与a平行的直线

C．α内的直线与a都相交

D．α内存在唯一的直线与a平行

解析：由题意可知，直线a与平面α相交，则平面α内不存在与直线a平行的直线．

答案：B

2．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　）

A．OB∥O1B1且方向相同

B．OB∥O1B1

C．OB与O1B1不平行

D．OB与O1B1不一定平行

解析：两角相等，角的一边平行且方向相同，另一边不一定平行．

答案：D

3．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为_________．

解析：连接B1D1，D1C（图略），则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°．

答案：60°

知识点三　空间中直线与平面、平面与平面的

位置关系

（1）直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．

（2）平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

• 温馨提醒 •

直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”．

1．若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（　　）

A．AB∥CD　　　　　　 B．AD∥CB

C．AB与CD相交  D．A，B，C，D四点共面

解析：因为平面α∥平面β，要使直线AC∥直线BD，则直线AC与BD是共面直线，即A，B，C，D四点必须共面．

答案：D

2．（2021·昆明市高三调研）设l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且lα，mβ．下列结论正确的是（　　）

A．若α⊥β，则l⊥β

B．若l⊥m，则α⊥β

C．若α∥β，则l∥β

D．若l∥m，则α∥β

解析：α⊥β，lα，加上l垂直于α与β的交线，才有l⊥β，所以A选项错误；若l⊥m，lα，mβ，则α与β平行或相交，所以B选项错误；若α∥β，lα，则l∥β，所以C选项正确；若l∥m，lα，mβ，则α与β平行或相交，所以D选项错误．

答案：C

授课提示：对应学生用书第144页

题型一　平面的基本性质及应用　　

1．在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么（　　）

A．点P必在直线AC上

B．点P必在直线BD上

C．点P必在平面DBC内

D．点P必在平面ABC外

解析：如图，因为EF平面ABC，而GH平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．

答案：A

2．如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2．

（1）求证：E，F，G，H四点共面；

（2）设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线．

证明：（1）∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD．

在△BCD中，＝＝，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，∴E，F，G，H四点共面．

（2）由（1）知EF綊BD，GH綊BD．

∴四边形FEGH为梯形，∴GE与HF交于一点P，

P∈EG，EG平面ABC，

∴P∈平面ABC．同理P∈平面ADC．

∴P为平面ABC与平面ADC的公共点，

又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线．

证明线共面或点共面的三种方法

（1）直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面．

（2）纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．

（3）辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α、β重合．

题型二　空间两条直线的位置关系　　

1．（2019·高考全国卷Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（　　）

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线

B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线

C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线

D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

解析：法一：取CD的中点O，连接EO，ON．由△ECD是正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，知EO⊥平面ABCD．∴EO⊥CD，EO⊥ON．又N为正方形ABCD的中心，∴ON⊥CD．

以CD的中点O为原点，方向为x轴正方向建立空间直角坐标系，如图①所示．

不妨设AD＝2，则E（0，0，），N（0，1，0），M，B（－1，2，0），

∴EN＝＝2，BM＝＝，

∴EN≠BM．

连接BD，BE，

∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，

∴BM，EN是△DBE的中线，

∴BM，EN必相交．

法二：如图②，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB．

∵△ECD是正三角形，∴EF⊥CD．

∵平面ECD⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．

∴EF⊥FN．

不妨设AB＝2，则FN＝1，EF＝，

∴EN＝＝2．

∵EM＝MD，DG＝GF，

∴MG∥EF且MG＝EF，∴MG⊥平面ABCD，

∴MG⊥BG．

∵MG＝EF＝，

BG＝＝＝，

∴BM＝＝．∴BM≠EN．

连接BD，BE，

∵点N是正方形ABCD的中心，∴点N在BD上，且BN＝DN，

∴BM，EN是△DBE的中线，

∴BM，EN必相交．

答案：B

2．（2021·大连期末测试）如图为一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，线段AB，CD的位置关系是（　　）

A．平行　　　　　　　　 B．垂直但不相交

C．异面但不垂直  D．相交

解析：还原为正方体后得点A和C重合，所以AB，CD相交．

答案：D

3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：

①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线BN平行；③直线AM与直线DD1异面；④直线BN与直线MB1异面．

其中正确结论的序号为　　　　（注：把你认为正确的结论序号都填上）．

解析：AM与C1C异面，故①错；AM与BN异面，故②错；③，④正确．

答案：③④

题型三　异面直线所成的角　　

[例]　如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（　　）

A．　　　　　　 B．

C．  D．

 [解析]　连接BC1，易证BC1∥AD1，

则∠A1BC1（或其补角）即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，

则A1C1＝，A1B＝BC1＝，

故cos∠A1BC1＝＝．

则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．

[答案]　D

[变式探究1]　将本例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，问题不变．

解析：由平面ABCD内有且仅有一点到A1的距离为1，

则AA1＝1．

此时正四棱柱变为正方体ABCD­A1B1C1D1，

由图知A1B与AD1所成角为∠A1BC1，连接A1C1（图略）．

则△A1BC1为等边三角形，

∴∠A1BC1＝60°，∴cos∠A1BC1＝，

故异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为．

[变式探究2]　将本例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，且平面ABCD内有且仅有一点到顶点A1的距离为1”，则是否存在过顶点A的直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成角都相等，若存在，存在几条？若不存在，说明理由．

解析：由条件知，此时正四棱柱为正方体．如图，连接对角线AC1，显然AC1与棱AB，AD，AA1所成角都相等，联想正方体的其他体对角线．如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，因为BB1∥AA1，BC∥AD．

∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等．

同理体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成角都相等，故过A作BD1，A1C，DB1的平行线都满足，故这样的直线可以作4条．

求异面直线所成角的方法

（1）求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．

（2）求异面直线所成的角的三步骤：“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．

[对点训练]

（2021·太原模拟）在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝BB1，D是CC1的中点，则CA1与BD所成角的大小是（　　）

A．　　　 B．　　　　

C．　　　　 D．

解析：如图，取A1C1的中点E，连接BE，DE，则DE∥A1C，所以∠BDE（或其补角）即为CA1与BD所成的角，设为θ．由几何体ABC­A1B1C1是正三棱柱且AB＝BB1，可设其棱长为2．在△BDE中，BD＝，BE＝，DE＝，由余弦定理可得cos θ＝＝0，所以θ＝．

答案：C

　判断空间线、面间的位置关系中的核心素养

直观想象——构造模型解决空间线、面位置关系

[例]　已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．

其中所有正确的命题是（　　）

A．①④　　　 B．②④　　　　

C．①　　　　 D．④

[解析]　借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图（1）所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图（2）所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图（3）所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图（4）所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．故选A．

[答案]　A

1．构造法实质上是结合题意构造适合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．

2．由于长方体或正方体中包含了线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直及面面垂直等各种位置关系，故构造长方体或正方体来判断空间直线、平面间的位置关系，显得直观、易判断．构造时注意其灵活性，想象各种情况反复验证．

[对点训练]

（2021·郑州模拟）已知空间三条直线l，m，n，若l与m异面，且l与n异面，则（　　）

A．m与n异面

B．m与n相交

C．m与n平行

D．m与n异面、相交、平行均有可能

解析：在如图所示的长方体中，m，n1与l都异面，但是m∥n1，所以A，B错误；m，n2与l都异面，且m，n2也异面，所以C错误．

答案：D