2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.2命题及其关系充分条件与必要条件学案理含解析北师大版

第二节　命题及其关系、充分条件与必要条件

授课提示：对应学生用书第4页

知识点一　四种命题及其关系

1.四种命题间的相互关系

2.四种命题的真假关系

（1）两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

（2）两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

1.有下列几个命题：

①“若a＞b，则＞”的否命题；

②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题.

其中真命题的序号是（　　）

A.①　　　　　　　 B.①②

C.②③  D.①②③

解析：①原命题的否命题为“若a≤b，则≤”，假命题；②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真命题；③原命题为真命题，故逆否命题为真命题，所以真命题的序号是②③.

答案：C

2.命题“若x2＋y2＝0，x，y∈R，则x＝y＝0”的逆否命题是（　　）

A.若x≠y≠0，x，y∈R，则x2＋y2＝0

B.若x＝y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

C.若x≠0且y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

D.若x≠0或y≠0，x，y∈R，则x2＋y2≠0

解析：将原命题的条件和结论否定，并互换位置即可.由x＝y＝0知x＝0且y＝0，其否定是x≠0或y≠0.

答案：D

3.已知曲线C：f（x）＝x3－3x，直线l：y＝ax－a，则“a＝6”是“直线l与曲线C相切”的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案：A

知识点二　充分条件与必要条件

• 温馨提醒 •

1.易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.

2.易忽视A是B的充分不必要条件（A⇒B且BA）与A的充分不必要条件是B（B⇒A且AB）两者的不同.

1.“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：由（x－1）（x＋2）＝0，得x＝1或x＝－2，所以“（x－1）（x＋2）＝0”是“x＝1”的必要不充分条件.

答案：B

2.（2021·贵阳模拟）设向量a＝（1，x－1），b＝（x＋1，3），则“x＝2”是“a∥b”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：依题意，注意到a∥b的充要条件是1×3＝（x－1）·（x＋1），即x＝±2.因此，由x＝2可得a∥b，“x＝2”是“a∥b”的充分条件；由a∥b不能得到x＝2，“x＝2”不是“a∥b”的必要条件，故“x＝2”是“a∥b”的充分不必要条件.

答案：A

3.（易错题）条件p：x＞a，条件q：x≥2.

（1）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是　　　　；

（2）若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是__________.

解析：设A＝{x|x＞a}，B＝{x|x≥2}，

（1）因为p是q的充分不必要条件，

所以AB，所以a≥2；

（2）因为p是q的必要不充分条件，

所以BA，所以a＜2.

答案：（1）a≥2　（2）a＜2

授课提示：对应学生用书第5页

题型一　四种命题的相互关系及真假判断　　

1.命题“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是（　　）

A.若x2≥1，则x≥1或x≤－1

B.若－1＜x＜1，则x2＜1

C.若x＞1或x＜－1，则x2＞1

D.若x≥1或x≤－1，则x2≥1

解析：命题的形式是“若p，则q”，由逆否命题的知识，可知其逆否命题是“若非q，则非p”的形式，所以“若x2＜1，则－1＜x＜1”的逆否命题是“若x≥1或x≤－1，则x2≥1”.

答案：D

2.已知集合P＝，Q＝，记原命题：“x∈P，则x∈Q”，那么，在原命题及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）

A.0　　　　　　　 B.1

C.2  D.4

解析：因为P＝＝

，Q＝，

所以P⊆Q，

所以原命题“x∈P，则x∈Q”为真命题，

则原命题的逆否命题为真命题.

原命题的逆命题“x∈Q，则x∈P”为假命题，

则原命题的否命题为假命题，所以真命题的个数为2.

答案：C

3.（2021·衡阳模拟）给定下列命题：

①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②“矩形的对角线相等”的逆命题；

③“若xy＝0，则x，y中至少有一个为0”的否命题.

其中真命题的序号是__________.

解析：①∵k＞0时，Δ＝4－4（－k）＝4＋4k＞0，∴①是真命题.

②逆命题：对角线相等的四边形是矩形，是假命题.

③否命题：若xy≠0，则x，y都不为0，是真命题.

答案：①③

1.写一个命题的其他三种命题时需关注两点

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写.

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

[提醒]　四种命题的关系具有相对性，一旦一个命题定为原命题，相应的也就有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”.

2.判断命题真假的两种方法

（1）直接判断：判断一个命题为真命题，要给出严格的推理证明；说明一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

（2）间接判断：当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假.

题型二　充分条件、必要条件的判断　　

考法（一）　定义法判断充分、必要条件

[例1]　（2020·高考天津卷）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析]　求解二次不等式a2＞a可得a＞1或a＜0，

据此可知a＞1是a2＞a的充分不必要条件.

[答案]　A

考法（二）　集合法判断充分、必要条件

[例2]　（2019·高考天津卷）设x∈R，则“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的（　　）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析]　由x2－5x＜0可得0＜x＜5.由|x－1|＜1可得0＜x＜2.由于区间（0，2）是（0，5）的真子集，故“x2－5x＜0”是“|x－1|＜1”的必要而不充分条件.

[答案]　B

考法（三）　转化法判断充分、必要条件

[例3]　给定两个命题p，q.若非p是q的必要不充分条件，则p是非q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析]　因为非p是q的必要不充分条件，则q⇒非p但非pq，其逆否命题为p⇒非q但非qp，所以p是非q的充分不必要条件.

[答案]　A

　充分条件、必要条件的三种判断方法

（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

（2）集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的何种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的何种条件.

[题组突破]

1.（2021·佛山模拟）已知p：x＝2，q：x－2＝，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件　　　 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：当x－2＝时，两边平方可得（x－2）2＝2－x，即（x－2）（x－1）＝0，解得x1＝2，x2＝1.当x＝1时，－1＝，不成立，故舍去，则x＝2，所以p是q的充要条件.

答案：C

2.（2021·西城模拟）设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的（　　）

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：由b＝c，得b－c＝0，得a·（b－c）＝0；反之不成立.故“a·（b－c）＝0”是“b＝c”的必要不充分条件.

答案：B

3.（2021·泰安模拟）若p：log2a＜1，q：关于x的一元二次方程x2＋（a＋1）x＋a－2＝0的一根大于零，另一根小于零，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：满足条件p的参数a的取值集合为M＝{a|0＜a＜2}，满足条件q的参数a的取值集合为N＝{a|a＜2}，显然MN，所以p是q的充分不必要条件.

答案：A

　充要条件中的核心素养

（一）逻辑推理——已知充分、必要条件求参数范围

[例1]　（1）p：关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点；q：0≤k≤1.则p成立是q成立的（　　）

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（2）已知集合A＝，B＝{x|log3（x＋a）≥1}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________.

[解析]　（1）由题意，作出y＝|3x－1|的图像如图所示，所以关于x的函数y＝|3x－1|－k有两个零点时，0＜k＜1，所以p成立是q成立的充分不必要条件.

（2）由≤1，得x2－x－6≥0，解得x≤－2或x≥3，故A＝{x|x≤－2或x≥3}.由log3（x＋a）≥1，得x＋a≥3，即x≥3－a，故B＝{x|x≥3－a}.由题意可知BA，所以3－a≥3，解得a≤0.故实数a的取值范围是（－∞，0].

[答案]　（1）B　（2）（－∞，0]

根据充要条件求解参数范围的方法及注意事项

（1）解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（组）求解.

（2）求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

（二）创新应用——“交汇型”充分、必要条件的判断

[例2]　已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

[解析]　因为S4＋S6＞2S5⇔4a1＋d＋＞2⇔6d＋15d＞20d⇔d＞0，所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.

[答案]　C

“交汇型”充分必要条件的问题通常是选取合适的数学背景，把新交汇考点巧妙地融入试题中，虽然它的构思巧妙、题意新颖，但是，它考查的还是基本知识和基本技能.解这类题的关键在于用慧眼去找寻“交汇点”，用心灵去感受题意以及科学合理地运算推理.

[题组突破]

1.（2020·高考北京卷）已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的（　　）

A.充分而不必要条件　 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件  D.既不充分也不必要条件

解析：（1）当存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ时，

若k为偶数，则sin α＝sin（kπ＋β）＝sin β；

若k为奇数，则sin α＝sin（kπ－β）＝sin[（k－1）π＋π－β]＝sin（π－β）＝sin β；

（2）当sin α＝sin β时，α＝β＋2mπ或α＋β＝π＋2mπ，m∈Z，即α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m）或α＝kπ＋（－1）kβ（k＝2m＋1），亦即存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ.

所以，“存在k∈Z使得α＝kπ＋（－1）kβ”是“sin α＝sin β”的充要条件.

答案：C

2.已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x||x－4|≤2}.若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数a的取值范围是__________.

解析：由题意，得B＝{x|2≤x≤6}.∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，∴AB，∴，且a＋3＝6与2a＝2不同时成立.解得1≤a≤3.

答案：[1，3]