2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.2排列与组合学案理含解析北师大版

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第二节　排列与组合命题分析预测学科核心素养从近五年的高考来看，本节内容是命题的热点，主要考查排列与组合的综合应用，分组分配问题是命题热点，多为选择题、填空题，难度中等偏下．本节内容主要通过排列、组合的应用考查逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第205页知识点一　排列与排列数1．排列与排列数（1）排列从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．（2）排列数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A．2．排列数公式及性质（1）排列数公式A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）＝（m、n∈N＋且m≤n）．（2）性质：①A＝n！；②0！＝1．1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）A．144　　　　　　　 B．120C．72  D．24解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24．答案：D2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（　　）A．8  B．24C．48  D．120解析：末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种排法，所以偶数的个数为48．答案：C知识点二　组合与组合数1．组合与组合数（1）组合从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合Ｗ．（2）组合数从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C．2．组合数的公式及性质（1）组合数公式C＝＝＝（n、m∈N＋且m≤n）．（2）组合数性质①C＝1；②C＝；③C＋C＝C．• 温馨提醒 •二级结论与组合数相关的几个公式（1）C＋C＋…＋C＝2n（全组合公式）．（2）C＋C＋…＋C＋C＝C．（3）kC＝nC．必明易错易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）A．18  B．24C．30  D．36解析：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18（种），选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12（种），故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30（种）．答案：C2．（易错题）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（　　）A．423  B．288C．216  D．144解析：若2，4相邻，把2，4捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于5个元素排列），1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×C×A＝144，同理2，4与6相邻的有A×2×2×A＝48（个），所以只有2，4相邻的有144－48＝96（个），全部符合条件的六位数有96×3＝288（个）．答案：B3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有　　　　　种．解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350（种）．答案：350授课提示：对应学生用书第206页题型一　排列应用问题　　[例]　3名女生和5名男生排成一排．（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？（3）如果女生不站两端，有多少种排法？（4）其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法？（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？[解析]　（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．（2）（插空法）先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．（3）法一：（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．法二：（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．（4）8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为A＝20 160（种）．（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．法一：（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种．由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960（种）．法二：（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960（种）．法三：（间接法）8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960（种）．　解决排列问题的主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算捆绑法相邻问题捆绑处理，即把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中消序法定序问题消序（除法）处理的方法，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列[题组突破]1．（2021·合肥市第二次质量检测）某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有（　　）A．36种  B．44种C．48种  D．54种解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：（1）当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．（2）当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．（3）当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44（种）．答案：B2．（2021·昆明高三质检）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”的个数为_________．（用数字作答）解析：由数字0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为2或5，有2A－1＝11（个）；由数字0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为3或4，有2A＝12（个）．故共有23个．答案：23题型二　组合应用问题　　[例]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？[解析]　（1）从余下的34种商品中，选取2种有C＝561种取法，所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．（2）从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．（4）选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555（种）．所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．（5）法一（间接法）：选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090（种）．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．法二（直接法）：共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090（种）．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．2．“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理更简捷．[对点训练]　甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？（2）甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？解析：（1）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24（种）．（2）甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30（种）．题型三　排列与组合的综合应用　　[例]　（2021·长春市高三二检）某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有　　　　　种．（用数字作答）[解析]　若甲、乙同时参加，有2CAA＝120（种），若甲、乙有一人参加，有CCA＝960（种），从而不同的发言顺序有1 080种．[答案]　1 080求解排列与组合问题的要点（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．（2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）或间接法（排除法）来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．[题组突破]1．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（　　）A．15　　　　　　　　 B．20C．30  D．42解析：四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法．答案：C2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）A．24  B．18C．12  D．6解析：从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位（或百位），从1，3，5中选两个数字排在百位（或十位）、个位，共有A·A＝12（种），故共有A＋AA＝18（种）．答案：B　排列、组合应用中的核心素养数学运算——分组分配问题计数问题中的分组分配问题一直是排列、组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问题之一，也是排列、组合综合运用的充分体现．由于分组分配问题的种类繁多、条件各异，涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组后的元素是否有序等问题，因此在解答实际问题时非常容易混淆，导致错误．1．完全非均匀分组所谓“完全非均匀分组”，就是将问题中的所有元素分成彼此元素个数互不相等的组，解决此类问题时只需直接分组即可达到目的．[例1]　7人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？（1）分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；（2）选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人．[解析]　（1）先从7人中选出1人，有C种，再由剩下的6人中选出2人，有C种，最后由剩下的4人为一组，有C种．由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝105（种）．（2）可“选分同步”：先从7人中选出2人，有C种，再由剩下的5人中选出3人，有C种，分组方法共有CC＝210（种）．也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝210（种）．2．均匀分配[例2]　将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有　　　　　种．（用数字作答）[解析]　先选出3人，有C种，再由剩下的6人中选出3人，有C种，最后由剩下的3人为一组，有C种．由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有·A＝1 680（种），故填1 680．[答案]　1 6803．部分均分问题[例3]　小明有中国古代四大名著：《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有　　　　种．[解析]　根据题意，分两步进行分析：①将四本书分成3组，其中1组两本，其他2组各一本，有＝6（种）分组方法，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，即这两本书不能分在同一组，《西游记》《红楼梦》分在同一组的情况有1种，故四本书分成3组，符合题意的分法有6－1＝5（种）；②将分好的3组全排列，对应三位同学，有A＝6（种）情况．则不同的借法有5×6＝30（种）．[答案]　30分组分配问题的三种类型及求解策略类型求解策略整体均分解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A（n为均分的组数），避免重复计数部分均分解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数不等分只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数[题组突破]1．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为_________．解析：先将5人分成三组（1，1，3或2，2，1两种形式），再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有·A·C＝900（种）．答案：9002．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有　　　　　种不同的分法．解析：先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．故共有C·C·C＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A＝360种分配方法．答案：360