2022届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.6对数与对数函数学案理含解析北师大版

第六节　对数与对数函数

授课提示：对应学生用书第29页

知识点一　对数与对数运算

1.对数的概念

如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝loga N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质与运算法则

（1）对数的性质

①＝N；

②logaaN＝N（a>0，且a≠1）；

③零和负数没有对数.

（2）对数的运算法则（a>0，且a≠1，M>0，N>0）

①loga（M·N）＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM（n∈R）.

（3）对数的重要公式

①换底公式：logbN＝（a，b均大于零且不等于1）；

②logab＝.

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对数运算的一些结论

（1）logambn＝logab.（2）logab·logba＝1.（3）logab·logbc·logcd＝logad.

1.＋log2＝（　　）

A.2　　　　　　　 B.2－2log23

C.－2  D.2log23－2

解析：＝＝2－log23，又log2＝－log23，两者相加即为B.

答案：B

2.（log29）·（log34）＝__________.

解析：（log29）·（log34）＝×＝×＝4.

答案：4

3.已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y的值为__________.

解析：由2x＝3，log4＝y，得x＝log23，y＝log4＝log2，所以x＋2y＝log23＋log2＝log28＝3.

答案：3

知识点二　对数函数及其性质

（1）概念：函数y＝logax（a>0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）.

（2）对数函数的图像与性质

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二级结论

对数函数的图像与底数大小的比较如图所示，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数.

故0＜c＜d＜1＜a＜b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

必明易错

对数不等式问题，一般是先确保对数中真数大于0，再利用对数函数的单调性来求解不等式，特别是对数函数的底数不确定时，单调性不明确，从而无法求解不等式，故应分a>1和0<a<1两种情况讨论.

1.函数y＝log（－x2＋x＋6）的单调增区间为（　　）

A.  B.

C.（－2，3）  D.

解析：由－x2＋x＋6＞0，解得－2＜x＜3，故函数的定义域为（－2，3），令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数，由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在（－2，3）上的减区间.

利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域（－2，3）上的减区间为.

答案：A

2.函数y＝loga（4－x）＋1（a＞0，且a≠1）的图像恒过点__________.

解析：当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.

所以函数的图像恒过点（3，1）.

答案：（3，1）

3.（易错题）函数y＝logax（a＞0，a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝__________.

解析：分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或.

答案：2或

授课提示：对应学生用书第30页

题型一　对数函数的图像及应用　　

1.（2019·高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga（a>0，且a≠1）的图像可能是（　　）

解析：对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B.

答案：D

2.当0＜x≤时，4x＜logax（a＞0且a≠1），则a的取值范围是（　　）

A. B.　

C.（1，）　 D.（，2）

解析：

易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图像如图所示，则由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，∴＜a＜1.

答案：B

3.已知函数f（x）＝4＋loga（x－1）的图像恒过定点P，则点P的坐标是__________.

解析：由y＝logax图像经过点（1，0），故f（x）＝4＋loga（x－1）的图像恒过点P（2，4）.

答案：（2，4）

4.设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图像交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2＝log2x＋2的图像上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝__________.

解析：由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B（m＋，n－1）在y1＝log2x的图像上，所以n－1＝log2（m＋），即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12.

答案：12

1.在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项.

2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合进行求解.

题型二　对数函数的性质及应用　　

考法（一）　比较大小

[例1]　（1）（2019·高考全国卷Ⅰ）已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（　　）

A.a<b<c　　　　　　 B.a<c<b

C.c<a<b  D.b<c<a

（2）（2019·高考天津卷）已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a＜c＜b  B.a＜b＜c

C.b＜c＜a  D.c＜a＜b

[解析]　（1）由对数函数的单调性可得a＝log20.2<log21＝0，

由指数函数的单调性可得b＝20.2>20＝1，0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.

（2）由题意，

可知a＝log52＜1，

b＝log0.50.2＝log＝log2－15－1＝log25＞log24＝2.c＝0.50.2＜1，

∴b最大，a、c都小于1.

∵a＝log52＝，c＝0.50.2＝＝＝.

而log25＞log24＝2＞，

∴＜，

∴a＜c，

∴a＜c＜b.

[答案]　（1）B　（2）A

　比较对数值大小的方法

考法（二）　对数型函数单调性问题

[例2]　（1）如果logx＜logy＜0，那么（　　）

A.y＜x＜1  B.x＜y＜1

C.1＜x＜y  D.1＜y＜x

（2）函数f（x）＝loga（ax－3）在区间[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（　　）

A.（1，＋∞）  B.（0，1）

C.  D.（3，＋∞）

[解析]　（1）因为y＝logx在（0，＋∞）上为减函数，所以x＞y＞1.

（2）由于a＞0，且a≠1，所以u＝ax－3为增函数，所以若函数f（x）为增函数，则y＝logau必为增函数，因此a＞1.又u＝ax－3在区间[1，3]上恒为正，所以a－3＞0，即a＞3.

[答案]　（1）D　（2）D

　对数型复合函数的单调性问题的求解策略

（1）对于y＝logaf（x）型的复合函数的单调性，有以下结论：函数y＝logaf（x）的单调性与函数u＝f（x）（f（x）>0）的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反.

（2）研究y＝f（logax）型的复合函数的单调性，一般用换元法，即令t＝logax，则只需研究t＝logax及y＝f（t）的单调性即可.

考法（三）　解简单的对数不等式

[例3]　已知不等式logx（2x2＋1）＜logx（3x）＜0成立，则实数x的取值范围是__________.

[解析]　原不等式⇔①或②，

解不等式组①得＜x＜，

不等式组②无解，

所以实数x的取值范围是.

[答案]　

对数不等式（组）的求解常利用对数函数的单调性，在对数的底数不确定的情况下，要注意分类讨论.

[题组突破]

1.已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝（ln 2）2，则a，b，c的大小关系是（　　）

A.c＜b＜a　　　　　　　　 B.c＜a＜b

C.b＜a＜c  D.a＜c＜b

解析：因为0＜ln 2＜1，所以a＝2ln 2∈（1，2），c＝（ln 2）2∈（0，1）.又b＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈（3，4），故c＜a＜b.

答案：B

2.若函数f（x）＝log2（x2－ax－3a）在区间（－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－∞，4）

B.（－4，4]

C.（－∞，－4）∪[－2，＋∞）

D.[－4，4）

解析：由题意得x2－ax－3a＞0在区间（－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在（－∞，－2]上单调递减，则≥－2且（－2）2－（－2）a－3a＞0，解得实数a的取值范围是[－4，4）.

答案：D

　对数函数中的核心素养

（一）逻辑推理——比较对数值问题

比较对数值的大小主要依据对数函数的性质，但是待比较的值不能直接利用对数性质时，需要利用逻辑推理的方法比较大小.

[例1]　（2021·安庆模拟）已知正数x，y，z满足log2x＝log3y＝log5z＞0，则下列结论不可能成立的是（　　）

A.＝＝　　　　　　　 B.＜＜

C.＞＞  D.＜＜

[解析]　设log2x＝log3y＝log5z＝k＞0，

可得x＝2k＞1，y＝3k＞1，z＝5k＞1.

所以＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1.

①若0＜k＜1，则函数f（x）＝xk－1单调递减，

所以＞＞；

②若k＝1，则函数f（x）＝xk－1＝1，所以＝＝；

③若k＞1，则函数f（x）＝xk－1单调递增，

所以＜＜.

所以，，的大小关系不可能是B.

[答案]　B

涉及对数值比较大小或范围确定问题，要根据待比较的式子或范围，通过构造函数，利用函数性质比较大小，若不能构造函数，则需要利用作差（或作商）比较大小.

（二）创新应用——实际问题中对数的化简与求值

[例2]　（2019·高考北京卷）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）.已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）

A.1010.1　　　　　 B.10.1

C.lg 10.1  D.10－10.1

[解析]　设太阳的星等是m1＝－26.7，天狼星的星等是m2＝－1.45，

由题意可得－1.45－（－26.7）＝lg，

∴lg＝＝10.1，则＝1010.1.

[答案]　A

在解决对数的化简与求值问题时，要理解并灵活运用对数的定义、对数的运算性质、对数恒等式和对数的换底公式，同时还要注意化简过程中的等价性和对数式与指数式的互化，有助于提升学生的转化能力和数学运算能力.

[题组突破]

1.（2020·高考全国卷Ⅰ）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则（　　）

A.a＞2b  B.a＜2b

C.a＞b2  D.a＜b2

解析：由指数和对数的运算性质可得

2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.

令f（x）＝2x＋log2x，则f（x）在（0，＋∞）上单调递增.

又∵22b＋log2b＜22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，

∴2a＋log2a＜22b＋log22b，即f（a）＜f（2b），∴a＜2b.

答案：B

2.里氏震级M的计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为　　　　级；9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的　　　　倍.

解析：根据题意，由lg 1 000－lg 0.001＝6得此次地震的震级为6级，因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震的最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9，解得A9＝106，同理5级地震的最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍.

答案：6　10 000