2022届高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5y＝Asinωx＋φ的图像及应用学案理含解析北师大版

第五节　y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用

授课提示：对应学生用书第76页

知识点一　“五点法”画图

1．函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念

2．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

1．（2021·沈阳调研）函数y＝sin在区间上的简图是（　　）

解析：由f（0）＝sin＝－，排除选项B，D；由f＝sin＝，排除选项C．

答案：A

2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（　　）

A．2，4π，　　　　 B．2，，

C．2，，－  D．2，4π，－

解析：由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－．

答案：C

知识点二　y＝Asin（ωx＋φ）的图像变换

　由函数y＝sin x的图像通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图像的两种方法：

法一　　　　　　　　　　　法二

• 温馨提醒 •

1．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．

2．由y＝Asin ωx的图像得到y＝Asin（ωx＋φ）的图像时，需平移的单位数应为，而不是|φ|．

1．（易错题）要得到函数y＝cos（2x＋1）的图像，只要将函数y＝cos 2x的图像（　　）

A．向左平移1个单位长度

B．向右平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：∵y＝cos（2x＋1）＝cos，∴只要将函数y＝cos 2x的图像向左平移个单位长度即可．

答案：C

2．将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为（　　）

A．y＝2sin  B．y＝2sin

C．y＝2sin  D．y＝2sin

解析：函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得函数为y＝2sin＝2sin．

答案：D

3．如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b，则这段曲线的函数解析式为　　　　_________．

解析：从题图中可以看出，从6～14时的是函数y＝Asin（ωx＋φ）＋b的半个周期，

所以A＝×（30－10）＝10，b＝×（30＋10）＝20，

又×＝14－6，所以ω＝．

又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，

所以y＝10sin＋20，x∈[6，14]．

答案：y＝10sin＋20，x∈[6，14]

授课提示：对应学生用书第77页

题型一　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及变换  

1．要得到函数f（x）＝cos x（sin x＋cos x）的图像，可将函数g（x）＝cos x（sin x－cos x）的图像（　　）

A．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析：函数f（x）＝cos x（sin x＋cos x）＝sin＋，函数g（x）＝cos x（sin x－cos x）＝－＝sin－，所以将函数g（x）的图像向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到f（x）的图像．

答案：A

2．为得到函数y＝cos的图像，只需将函数y＝sin的图像（　　）

A．向左平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度

D．向右平移个单位长度

解析：y＝cos＝sin＝sin，只需将函数y＝sin的图像向右平移个单位长度，即y＝sin＝sin．

答案：D

3．（2021·福州模拟）若ω>0，函数y＝cos的图像向右平移个单位长度后与函数y＝sin ωx的图像重合，则ω的最小值为_________．

解析：将函数y＝cos的图像向右平移个单位长度，得y＝cos的图像．因为所得函数图像与y＝sin ωx的图像重合，所以－＋＝＋2kπ（k∈Z），解得ω＝－－6k（k∈Z），因为ω>0，所以当k＝－1时，ω取得最小值．

答案：

1．三角函数的图像变换有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．三角函数名不同的图像变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换．

2．对函数y＝sin x，y＝Asin（ωx＋φ）或y＝Acos（ωx＋φ）的图像，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．

题型二　求y＝Asin（ωx＋φ）的解析式　　

[例]　已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，若锐角A满足f·f＝，则tan A＝（　　）

A．　　　　　　　　 B．

C．  D．

[解析]　法一：设f（x）的最小正周期为T，由题图可知T＝，得T＝π＝，∴ω＝2．又当x＝－时，f（x）＝0，∴2×＋φ＝kπ（k∈Z），又|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝sin．

ff＝sinsin＝，由＋A＋－A＝，得sinsin＝cossin＝，即sin＝cos 2A＝．

∵A为锐角，∴2A＝，A＝，故tan A＝．

法二：设f（x）的最小正周期为T，由题图可知T＝，得T＝π＝，∴ω＝2．∵f（x）＝sin（2x＋φ）的图像可由y＝sin 2x的图像至少向左平移个单位长度得到，且|φ|<，∴φ＝，∴f（x）＝sin．由f·f＝，得sinsin＝（cos2A－sin2A）＝cos 2A＝，cos 2A＝．∵A为锐角，

∴2A＝，A＝，故tan A＝．

[答案]　B

确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法

（1）求A，b．确定函数的最大值M和最小值m，

则A＝，b＝．

（2）求ω．确定函数的最小正周期T，则ω＝．

（3）求φ常用的方法：

①代入法：把图像上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图像与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．

②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：

“最大值点”（即图像的“峰点”）时，ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）；“最小值点”（即图像的“谷点”）时，ωx＋φ＝＋2kπ（k∈Z）．

[题组突破]

1．如图，函数f（x）＝Asin（2x＋φ）的图像过点（0，），则f（x）的函数解析式为（　　）

A．f（x）＝2sin

B．f（x）＝2sin

C．f（x）＝2sin

D．f（x）＝2sin

解析：由题意知，A＝2，函数f（x）的图像过点（0，），所以f（0）＝2sin φ＝，由|φ|<，得φ＝，所以f（x）＝2sin．

答案：B

2．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图像如图所示，则f＝_________．

解析：由函数的图像可得A＝，×＝－，可得ω＝2，则2×＋φ＝π＋2kπ（k∈Z），又0<φ<，所以φ＝，故f（x）＝sin，所以f＝－．

答案：－

题型三　三角函数的图像与性质的综合应用　　

[例]　设函数f（x）＝sin＋sin，其中0<ω<3，已知f＝0．

（1）求ω；

（2）将函数y＝f（x）的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位长度，得到函数y＝g（x）的图像，求g（x）在上的最小值．

[解析]　（1）因为f（x）＝sin＋sin，

所以f（x）＝sin ωx－cos ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin．

由题设知f＝0，所以－＝kπ，k∈Z，

故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2．

（2）由（1）得f（x）＝sin，

所以g（x）＝sin

＝sin．

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g（x）取得最小值－．

解决三角函数图像与性质综合问题的方法

先将y＝f（x）化为y＝asin x＋bcos x的形式，再用辅助角公式化为y＝Asin（ωx＋φ）的形式，最后借助y＝Asin（ωx＋φ）的性质（如周期性、对称性、单调性等）解决相关问题．

[对点训练]

已知函数f（x）＝2sin2－cos 2x－1，x∈R．

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）若h（x）＝f（x＋t）的图像关于点对称，且t∈（0，π），求t的值．

解析：（1）因为f（x）＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2＝2sin，

故f（x）的最小正周期为π．

（2）由（1）知h（x）＝2sin，

由题意知2×＋2t－＝kπ（k∈Z），

得t＝＋（k∈Z），

又t∈（0，π），故t＝或．

　函数y＝Asin（ωx＋φ）应用中的核心素养

（一）数学建模——y＝Asin（ωx＋φ）的实际应用问题

[例1]　如图为一个观览车示意图，该观览车的巨轮的半径为4．8 m，巨轮上最低点与地面之间的距离为0．8 m，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ（0≤θ<2π）角到OB，设B点与地面之间的距离为h，则h与θ的关系式为（　　）

A．h＝5．6＋4．8sin θ

B．h＝5．6＋4．8cos θ

C．h＝5．6＋4．8cos

D．h＝5．6＋4．8sin

[解析]　过点O向右作与地面平行的射线OC（图略），则∠BOC＝θ－，根据三角函数的定义，得点B到射线OC的距离为4．8 sin，所以h＝5．6＋4．8sin．

[答案]　D

解决三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型中的待定系数．

（二）创新应用——三角函数的零点与不等式综合问题

[例2]　（2019·高考全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ω>0），已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：

①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点；

②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点；

③f（x）在单调递增；

④ω的取值范围是．

其中所有正确结论的编号是（　　）

A．①④　　　　　　　　　 B．②③

C．①②③  D．①③④

[解析]　已知f（x）＝sin（ω＞0）在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图像的右端点的横坐标在[a，b）上，此时f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点，但f（x）在（0，2π）可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0，2π]时，ωx＋∈，由f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋＜6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，＜ωx＋＜＋＜＜，所以f（x）在单调递增，所以③正确．

[答案]　D

三角函数的零点、不等式问题的求解思路

（1）把函数表达式转化为正弦型函数形式y＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，ω>0）．

（2）画出长度为一个周期的区间上的函数图像．

（3）利用图像解决有关三角函数的零点、不等式问题．

[题组突破]

1．（2021·佛山四校联考）已知x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，则f（x）的一个单调递减区间是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：因为x0＝是函数f（x）＝sin（2x＋φ）的一个极大值点，所以sin＝1，

解得φ＝2kπ－，k∈Z．

不妨取φ＝－，

此时f（x）＝sin，

令2kπ＋<2x－<2kπ＋（k∈Z），

得kπ＋<x<kπ＋（k∈Z）．

取k＝0，得函数f（x）的一个单调递减区间为．

答案：B

2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（　　）

A．5  B．6

C．8  D．10

解析：据图可知－3＋k＝2，得k＝5，所以ymax＝3＋5＝8．

答案：C